线性数列（linear sequence）每次增加或减少相同的量，它的第 n 项形式为 dn + c。当题目要求”第 n 项”或很靠后的某一项（例如第 40 项）时，就会用到这项技能。
它是数列与规律公式模块的第一课，其余各课都会再用到它。
固定的差怎样变成公式？
如果每一项都比前一项多 d，那么从第 n 项到第 n + 1 项就是加上 d。所以第 n 项一定含有 d × n。这部分公式说明数列增长得有多快。
常数项 c 是修正量，也就是要加上或减去多少，才能让 dn 对上真实的各项。
求公式的步骤
- 相减：用每一项减去前一项，得到公差 d，并确认每次都相同。
- 写出 dn：从 n = 1 开始的 d 的倍数。
- 比较 dn 与真实各项。差距（带符号）就是常数项 c。
- 写出公式 dn + c。
- 检验：用 n = 1 和一个较后面的项。
例题详解
求 9, 14, 19, 24, … 的第 n 项，再求第 10 项。
第一步，求差： 14 − 9 = 5，19 − 14 = 5，24 − 19 = 5。所以 d = 5。
第二步，倍数： 5n 给出 5, 10, 15, 20。
第三步，比较： 9 − 5 = 4，14 − 10 = 4，19 − 15 = 4。每一项都比 5n 多 4，所以 c = 4。
第四步，公式： 第 n 项是 5n + 4。
第五步，检验： n = 1 得 9，n = 4 得 24，两者都吻合。
第 10 项： 5 × 10 + 4 = 54。用逐项往后数：9 + 9 × 5 = 54，结果相同。
常数项 4 就是”第 0 项”，即数列开始之前一步的值：9 − 5 = 4。
要留意的错误
常见的失误是把第一项当作常数项。
错误答案： 第 n 项 = 5n + 9
学生看到数列从 9 开始，就把 9 写在末尾。
检验：n = 1 得 5 × 1 + 9 = 14，但第一项是 9。这个公式整整多了一步。第一项已经包含了第一步的增量，所以常数项必须是第一项减去 d：9 − 5 = 4。
自我检测
先不用计算器试做，再打开答案核对。
1. 求 5, 8, 11, 14, … 的第 n 项。
查看答案
d = 3，3n 给出 3, 6, 9, 12。每个真实的项多 2，所以公式是 3n + 2。
检验：n = 1 得 5，n = 4 得 14，两者都吻合。
2. 求 20, 17, 14, 11, … 的第 n 项。
查看答案
d = −3，−3n 给出 −3, −6, −9, −12。每个真实的项多 23，所以公式是 −3n + 23。
检验：n = 1 得 20，n = 4 得 11，两者都吻合。
3. 数列 6, 10, 14, 18, … 继续下去。求第 100 项。
查看答案
d = 4，4n 给出 4, 8, 12, 16，所以常数项是 2，公式是 4n + 2。第 100 项是 4 × 100 + 2 = 402。
用逐项往后数检验：6 + 99 × 4 = 6 + 396 = 402。
下一步
当你能稳定地求出公式后，学习用较远的项检验项公式，再试数列练习题组。数列与级数实验室可以由公式生成各项，让你检查自己的公式。
有些学生差求对了，却在时间压力下把常数项弄错。这正是老师在数学线上一对一补习中能够抓出来的步骤。