怎样判断数列是等差还是等比？

比较差和比值。如果相邻两项的差固定，就是等差数列；如果每一项与前一项的比值固定，就是等比数列。对 3, 6, 12，差分别是 3 和 6，但比值都是 2，所以是等比数列。

等比数列的第 n 项公式是什么？

如果首项是 a，公比（common ratio）是 r，第 n 项就是 a × r^(n − 1)。指数是 n − 1，因为第一项还没有乘过 r。对 2, 6, 18，公式是 2 × 3^(n − 1)，所以第 6 项是 2 × 3^5 = 486。

可以。平方数 1, 4, 9, 16 的差是 3, 5, 7，比值是 4, 2.25, 1.78，两者都不固定。这类数列可能是二次数列，可以用二阶差来探究。

等差（arithmetic）数列每次加同样的量，等比（geometric）数列每次乘同样的量。关键是在写公式之前先判断是哪一种。这项技能出现在增长、衰减和重复百分比变化的题目中。

这一课属于数列与规律公式模块，建立在求线性项公式之上。

对相邻的项做两个快速测试。求差测试是用每一项减去前一项。求比测试是用每一项除以前一项。

如果所有的差都相等，是等差数列。如果所有的比值都相等，是等比数列。两者都不是，则是别的类型。

数列 2, 6, 18, 54, … 继续下去。判断类型，写出第 n 项，并求第 6 项。

第一步，求差： 6 − 2 = 4，18 − 6 = 12，54 − 18 = 36。它们不相等，所以不是等差数列。

第二步，求比： 6 ÷ 2 = 3，18 ÷ 6 = 3，54 ÷ 18 = 3。比值固定，所以是等比数列，a = 2，r = 3。

第三步，公式： 第 n 项 = 2 × 3^(n − 1)。

第四步，检验： n = 1 得 2 × 3^0 = 2，n = 4 得 2 × 3³ = 2 × 27 = 54，两者都吻合。

第 6 项： 2 × 3^5 = 2 × 243 = 486。往后继续：54 × 3 = 162，162 × 3 = 486，结果相同。

常见的失误是等比公式的指数用错。

错误答案： 第 n 项 = 2 × 3^n，所以第 6 项是 2 × 3^6 = 1458

学生把指数写成 n，而不是 n − 1。

在 n = 1 检验：2 × 3^1 = 6，但第一项是 2。第一项还没有乘过公比，所以指数比位置少 1。正确公式是 2 × 3^(n − 1)，第 6 项是 486。

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. 数列是 5, 10, 20, 40, … 说明它的类型，并求第 7 项。

查看答案

差：5, 10, 20，不固定。比值：2, 2, 2，固定。它是等比数列，a = 5，r = 2。

第 7 项：5 × 2^6 = 5 × 64 = 320。

2. 数列是 100, 90, 80, 70, … 说明它的类型，并求第 n 项。

查看答案

差：−10, −10, −10，固定，所以是等差数列，d = −10。−10n 给出 −10, −20, −30，所以常数项是 110。

第 n 项是 110 − 10n。检验：n = 1 得 100，n = 4 得 70。

3. 1, 4, 9, 16, … 是等差、等比，还是都不是？请给出依据。

查看答案

差：3, 5, 7，不固定。比值：4, 2.25, 约 1.78，不固定。这个数列两者都不是。它是平方数 n²。

接下来学习用二阶差探究二次公式，它涵盖像平方数这样的数列。然后用数列练习题组综合所有类型。数列与级数实验室能把两种变化并排展示出来。

数列题目看起来简单，却可能藏着选错变化类型的陷阱。数学线上一对一补习的老师可以帮你把这类问题筛出来。