当同一个最终结果可以由不止一种选择顺序得到，计数方法就发生了重复计数，这个结果被算了不止一次。要解释它，指出一个被多算的结果，并说明被算了几次。这项推理技能为排列与组合收尾，它排在用补集之后，因为在下面的例题中补集是正确的替代方法。
怎样检验一个提出的方法？
- **把方法读成一连串选择。**先选什么，再选什么？
- **问选择的顺序是否造成重复。**如果一个小组可以用两种不同的选择顺序组成，它就被算了两次。
- 找出一个具体的结果，它出现不止一次，并数出出现几次。
- 用一个小的检查确认，或用另一种方法算出正确答案。
例题
从 6 个男生和 4 个女生中选出 3 人的委员会，一位学生对“至少一名女生”提出这个方法：**先选 1 名女生（4 种），再从剩下的 9 人中任选 2 人（9C2 = 36 种）。**提出的答案是 4 × 36 = 144。解释为什么这是错的，并求出正确答案。
找出重复的结果。以委员会 {女生 1, 女生 2, 男生 1} 为例。当先选女生 1，而男生 1 和女生 2 是“其他人”时，方法算了它一次；当先选女生 2 时，又算了一次。所以它被算了两次。有 3 名女生的委员会被算了3 次，每个可能成为“先选的人”的女生各算一次。
用计数检查 144。
| 委员会中的女生数 | 委员会数 | 被算次数 | 贡献 |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 × 6C2 = 60 | 1 | 60 |
| 2 | 4C2 × 6 = 36 | 2 | 72 |
| 3 | 4C3 = 4 | 3 | 12 |
60 + 72 + 12 = 144。这张表证实了该方法的答案，并准确显示多出来的部分从哪里来。
**正确答案：**委员会的实际数量是 60 + 36 + 4 = 100。用补集：10C3 − 6C3 = 120 − 20 = 100。两条路吻合。
**一句话的解释：**有不止一名女生的委员会，每个可能先被选出的女生都算了一次，所以总数偏大。
要留意的错误
一种常见的失误，是因为每一步听起来都合理就接受这个方法。
错误的推理：“我们需要至少一名女生，所以先选一名女生来确保这一点。然后其余的人可以是任何人。这样就涵盖了所有情况。”
这个逻辑确保了有女生在内，却没有让每个委员会只出现一次。更正的办法是用一个有两名女生的具体委员会来测试，看它是否出现了两次。
自我检测
1. 有一个从 7 人中选一对人的方法：先选第一个人（7 种），再选第二个人（6 种），得 42。解释错误并给出正确的数量。
查看答案
一对 {阿里, 巴拉} 既可以是先阿里后巴拉，也可以是先巴拉后阿里，所以每一对都被算了两次。正确：42 / 2 = 21，也就是 7C2。
2. 从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 人的委员会。为了求至少有 2 名女生的数量，一位学生先选 2 名女生（4C2 = 6 种），再从其余 7 人中任选 2 人（21 种），得 126。解释错误并求出正确的数量。
查看答案
有 3 名女生的委员会被算了3 次（3 名女生中任意 2 人都可以是“先选的”那一对），有 4 名女生的委员会被算了6 次。
正确数量：2 女 2 男：6 × 10 = 60。3 女 1 男：4 × 5 = 20。4 女：1。总数 = 81。
用补集检查：9C4 − 5C4 − 4 × 5C3 = 126 − 5 − 40 = 81。
3. 五个人坐成一行，A 和 B 必须坐在一起。一位学生把 AB 当成一个整体，排列 4 个对象，得 4! = 24。这个答案偏大还是偏小？正确答案是多少？
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答案偏小。这个整体可以是 AB 也可以是 BA，所以要乘以 2。正确：24 × 2 = 48。
接下来学什么
做综合练习，其中有些题要你判断一个提出的方法。你也可以回到模块概览，看这五课如何连在一起。
解释一个方法为什么行不通，和算出答案是不同的技能，一个人很难练习。我们的线上一对一附加数学补习让你有一位老师可以听你解释，并检查你的推理是否完整。