补集方法是数出你不要的结果，再从总数中减去：想要的 = 总数 − 不要的。当“不要的”只是一种简单情况、而“想要的”是一长串情况时，它最有效。排列与组合中的选取和排列题都可以使用。
这一课建立在计算有限制条件的选取之上，那一课用把各情况相加的方式得到类似的答案。
什么时候该想到补集？
留意这些说法：
- 至少一个（补集是一个也没有），
- 不相邻（补集是相邻），
- 不全相同（补集是全部相同），
- 至多，而且上限很大。
然后按三步走：算出没有条件时的总数，算出不要的结果，相减。
例题 1：选取
从 6 个男生和 5 个女生中选出 4 人的委员会。求至少有一名女生的委员会数。
**总数：**11C4 = (11 × 10 × 9 × 8) / 24 = 7920 / 24 = 330。
**不要的（没有女生，即 4 个男生）：**6C4 = 15。
**答案：**330 − 15 = 315。
**检查（直接法）：**1 个女生：5 × 6C3 = 5 × 20 = 100。2 个女生：5C2 × 6C2 = 10 × 15 = 150。3 个女生：5C3 × 6 = 10 × 6 = 60。4 个女生：5C4 = 5。总和 100 + 150 + 60 + 5 = 315。两个答案吻合，补集只用了两行，而直接法要算四种情况。
例题 2：排列
六个人排成一行。求 A 和 B 不相邻的排法数。
**总数：**6! = 720。
**不要的（A 和 B 相邻）：**把 A 和 B 当成一个整体。这时有 5 个对象，排法有 5! = 120 种，而 A 和 B 在整体内部可以互换，有 2 种。所以 120 × 2 = 240。
**答案：**720 − 240 = 480。
**检查（空隙法）：**把其他 4 人排好，有 4! = 24 种。这样留下 5 个空隙，A 和 B 放进两个不同的空隙，有 5 × 4 = 20 种。所以 24 × 20 = 480。两个答案吻合。
要留意的错误
一种常见的失误，是为“至少一个”用错了补集。
**题目：**求例题 1 中至少有一名女生的委员会数。
**错误答案：**330 − 5C4 = 330 − 5 = 325
学生减去的是全是女生的委员会，而不是没有女生的委员会。
“至少一名女生”只有在没有女生时才不成立，也就是 4 个男生。更正：330 − 6C4 = 330 − 15 = 315。
自我检测
1. 从 4 个男生和 5 个女生中选出 5 人的小组。至少有一个男生的小组有多少个？
查看答案
总数 9C5 = 126。没有男生，即 5 个全是女生：5C5 = 1。所以 126 − 1 = 125。
2. 五个人排成一行，X 和 Y 不相邻的排法有多少种？
查看答案
总数 5! = 120。相邻：4! × 2 = 48。所以 120 − 48 = 72。
用空隙法检查：其他 3 人排法 3! = 6，有 4 个空隙，X 和 Y 放入不同空隙有 4 × 3 = 12 种，6 × 12 = 72。
3. 一个 4 位密码使用数字 0 到 9，数字可以重复。至少含有一个 7 的密码有多少个？
查看答案
总数 10⁴ = 10 000。不含 7 的密码每一位有 9 个数字可选：9⁴ = 6561。所以 10 000 − 6561 = 3439。
接下来学什么
这个模块的最后一项技能，是检验所提出的方法是否算多了：解释所提出方法中的重复计数。你也可以试做综合练习。免计算器解题训练器有助于检查阶乘约分。
学生可以理解补集的想法，却没注意到什么时候该用。线上一对一附加数学补习的老师可以帮你养成检查题目中这些信号词的习惯。