当两种方法都正确、都回答了题目时，它们就同样有效。它们的差别在于速度、出错风险、检查是否容易，以及与题目措辞是否相称。一种方法并不会因为看起来高深就更好。
如果你的成绩已经不错，想要磨炼选择而不是学更多内容，这一页会有帮助。它完全避开一种说法：没有哪种方法能把你带到某个特定成绩。
用哪些标准公平地比较方法？
用四项标准，并用文字简短地给每种方法打分。
| 标准 | 要问的问题 |
|---|---|
| 速度 | 这道题需要几行？ |
| 出错风险 | 这种方法最可能在哪里出错（符号、平方、四舍五入）？ |
| 可检查性 | 我能不能用代入法快速检验答案？ |
| 是否相称 | 题目有没有写“exact”“to 2 decimal places”“hence”，或指定了方法？ |
这些标准是关于你和题目，而不是关于考官可能喜欢什么。
示例：一个二次方程，三种方法
解 x² + 4x − 5 = 0。
**方法 A，因式分解。**找出两个数，乘积为 −5，和为 4：5 和 −1。所以 (x + 5)(x − 1) = 0，得 x = −5 或 x = 1。
**方法 B，二次公式。**a = 1，b = 4，c = −5。判别式 b² − 4ac = 16 + 20 = 36。所以 x = (−4 ± 6) ÷ 2，得 x = 1 或 x = −5。
**方法 C，配方法（completing the square）。**x² + 4x = 5，所以 (x + 2)² = 9，x + 2 = ±3，得 x = 1 或 x = −5。
三种方法都得到 x = 1 和 x = −5。用代入法检查：1 + 4 − 5 = 0，25 − 20 − 5 = 0。
| A：因式分解 | B：公式 | C：配方 | |
|---|---|---|---|
| 速度 | 2 行 | 3 至 4 行 | 3 行 |
| 出错风险 | 数字小时较低 | −4ac 的符号失误 | b 的一半、常数的处理 |
| 可检查性 | 容易，展开回去 | 容易，代入 | 容易，代入 |
| 是否相称 | 需要整数根 | 对任何情形都适用；适合要求四舍五入 | 需要顶点时有用 |
就这道题而言，A 最快。但它并不是每个二次方程的“更好”方法。
当题目改变了选择
试试 x² + 3x − 5 = 0，答案保留 2 位小数。
因式分解行不通，因为没有整数对乘积为 −5、和为 3。公式可以：判别式 = 9 + 20 = 29，√29 ≈ 5.385，所以 x = (−3 + 5.385) ÷ 2 ≈ 1.19，或 x = (−3 − 5.385) ÷ 2 ≈ −4.19。
请注意是什么决定了选择：题目的措辞（“2 位小数”）和数字，而不是哪一种方法排名更高。
要避免的陷阱
陷阱是相信只有一种“正确”的方法，用了别的方法就显得弱。相反的陷阱是做到一半因为第一种方法感觉慢就换方法，这通常比做完它花更多时间。
第三个陷阱是把比较当成预测。“我用公式，所以我一定水平很高”并不是有效的推论。你能收集的证据要窄得多：在难度相当的任务上，哪一种方法让你出错较少？
自我检测
1. 解 x² − 7x + 12 = 0。哪种方法最快，为什么？
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因式分解：两个数乘积为 12、和为 −7，是 −3 和 −4，所以 (x − 3)(x − 4) = 0，x = 3 或 x = 4。因式分解最快，因为数字是很小的整数。检查：9 − 21 + 12 = 0，16 − 28 + 12 = 0。
2. 为什么对 x² + 3x − 5 = 0 保留 2 位小数，二次公式是自然的选择？
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根不是整数，所以因式分解行不通，而题目要求小数，公式可以直接给出：1.19 和 −4.19。
3. 一位同学说：“我什么都用公式，所以不用学因式分解。”请各给出一个支持和反对的理由。
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支持：公式总是可用，不必做选择。反对：在简单的题目上它较慢，也容易有符号失误，而因式分解能快速检查。公平的结论是：两种都会，既多一个选择，也多一种自我检查的方法。
接下来
在进步证据追踪器里，记录你用了哪种方法、是否做对，并且只记录难度相近的任务。这样你得到的是可比较的证据，而不是感觉。相关页面：找出最后的推理缺口和检查答案是否切题。
你可以自己做这种比较。当你想要有人陪你给两种方法计时，并看看每一种在哪里出错，就值得考虑一对一老师。在在线一对一数学补习中，这是课堂上的正常环节。