证明恒等式，但不能假设结论

要证明恒等式，就取其中一边，用成立的等式一行一行地变形，直到它变成另一边。题目给了你终点，你的任务是写出路线。这类题在附加数学的三角部分很常见，通常写成”证明”或”show that”。

这一课接在用基本恒等式改写式子之后，属于三角恒等式模块。

为什么从答案开始不安全？

假设你想证明 −1 = 1，这是错的。两边平方，得到 1 = 1，这是对的。看似正确的步骤把一个错误命题变成了正确命题，因为平方这个步骤不可逆。

三角证明也会出现同样的情况。如果你从”左边 = 右边”出发，并同时处理两边，可能最后得到一个成立的式子，却没有证明第一个命题。只处理一边，就排除了这个风险。

怎样写出一个证明？

1. 选内容较多的一边。 有分数、混合函数和括号的，就是要化简的那边。
2. 无路可走时换成 sin x 和 cos x。 tan、cot、sec、cosec 都能写成 sin x 和 cos x 的分数。
3. 通分。 保留括号。
4. 找恒等式。 出现 sin²x + cos²x 或 1 − cos²x，就是替换的信号。
5. 因式分解，约去公因式。 只能约去整个分子和整个分母共有的因式。
6. 最后写出另一边。 每一行都要能从上一行推出。

例题

证明 (1 + cos x) / sin x + sin x / (1 + cos x) ≡ 2 / sin x。

从左边开始。 用公分母 sin x (1 + cos x)：

[(1 + cos x)² + sin²x] / [sin x (1 + cos x)]

展开括号： (1 + cos x)² = 1 + 2cos x + cos²x，所以分子为 1 + 2cos x + cos²x + sin²x。

用 sin²x + cos²x = 1： 分子变成 1 + 2cos x + 1 = 2 + 2cos x = 2(1 + cos x)。

约去公因式 (1 + cos x)：

2(1 + cos x) / [sin x (1 + cos x)] = 2 / sin x

这就是右边，恒等式得证。用 x = 60° 检查：左边是 1.5 / 0.866 + 0.866 / 1.5 ≈ 1.732 + 0.577 = 2.309，而 2 / sin 60° ≈ 2.309。

要提防的错误

常见的失误是把恒等式当作方程，同时处理两边。

错误做法： 交叉相乘，得 (1 + cos x)² + sin²x = 2(1 + cos x)，再把两边都化简到相同。

学生一开始就假设了两边相等。

正确做法是选左边，单独变形，最后得到右边。逻辑必须向前走：第一行是你已知的，最后一行是你要的。如果确实要处理两边，每一步都必须可逆，并且要写明，但单边证明是更安全的习惯。

自我检测

1. 证明 tan x + cot x ≡ sec x cosec x。

2. 证明 sin⁴x − cos⁴x ≡ sin²x − cos²x。

3. 证明 cos²x − sin²x ≡ 2cos²x − 1。

接下来学什么

接着学代入前先化简，看看同样的恒等式怎样让求值更容易。免计算器演算训练器和二次结构探索器可以帮你练习较长证明里的代数。

如果你的步骤正确但不好整理，这正是我们的老师在一对一线上附加数学补习中关注的地方。