二进制加法与溢出

二进制（binary）加法要从右边开始逐列相加，写下一个数字，列的和达到 2 或更多时进位。如果固定位数的数最左边那一列还产生了进位，结果就**溢出（overflow）**了：它需要的位数比可用的多。

这一课用到你已经会的二进制位值，并与位深度相连，后者解释为什么固定位数有上限。

加法规则是什么？

每一列要加上两个位和右边那一列送来的进位。进位是最容易忘记的，所以在数字上方用一小行写出来。

没有溢出的示范例子

计算 01101011 加 00111001（8 位）。

先转换，方便之后检查：01101011 = 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 107，00111001 = 32 + 16 + 8 + 1 = 57。预期的和是 164。

现在从右边开始加（第 0 列是最右边那一列）：

第 0 列：1 + 1 = 10，写 0 进 1。第 1 列：1 + 0 + 1 = 10，写 0 进 1。第 2 列：0 + 0 + 1 = 1。

第 3 列：1 + 1 = 10，写 0 进 1。第 4 列：0 + 1 + 1 = 10，写 0 进 1。第 5 列：1 + 1 + 1 = 11，写 1 进 1。

第 6 列：1 + 0 + 1 = 10，写 0 进 1。第 7 列：0 + 0 + 1 = 1，没有向外进位。

结果是 10100100。检查：128 + 32 + 4 = 164，吻合。第 7 列没有向外进位，所以没有溢出。

有溢出的示范例子

计算 11001000 加 01000110（8 位）。十进制是 200 + 70 = 270，超过 255，所以预期会溢出。

第 6 列：1 + 1 = 10，写 0 进 1。第 7 列：1 + 0 + 1 = 10，写 0，并且从最左边那一列向外进 1。

8 位寄存器只保留 00001110，也就是 14。真正的答案需要九位：1 00001110 = 256 + 14 = 270。因此正确的说法是：结果溢出，因为 270 对 8 位来说太大（最大 255），存储的值 14 是错的。

要留意的错误

常见的失误是写下了数字，却忘记进位。

题目： 计算 00000111 加 00000001。

错误做法： 第 0 列：1 + 1 = 0，但没有写进位，于是第 1 列和第 2 列直接照抄。答案写成 00000110。

这个答案是 6，但 7 + 1 必须是 8。纠正方法是先写出进位那一行，用到一个进位就划掉一个。

第 0 列得 0 进 1，第 1 列 1 + 0 + 1 = 0 进 1，第 2 列 1 + 0 + 1 = 0 进 1，第 3 列 0 + 0 + 1 = 1。正确答案是 00001000。如果转回十进制发现数值不对，就是丢了一个进位。

自我检查

1. 计算 00011011 加 00000101。

2. 计算 10000001 加 10000001。会溢出吗？

3. 180 + 76 在 8 位中会溢出吗？

接下来学什么

接着学解释字符编码，再学位深度，它解释了溢出背后的上限。所有内容都可以在综合练习里练习。

不少学生加法没错，却不会用文字解释溢出来拿分。老师可以在线上一对一 Computer Science 补习中和你一起练这样的表达。