位深度与可表示的值

一组 n 位可以组成 2ⁿ 种不同的组合。凭这一条规则，你就知道若干位能表示多少个数字、字符或颜色，也知道一组项目需要几位。

这一课把二进制转换、溢出背后的上限和字符编码中的编码大小联系起来，是数字与文字的表示的最后一课。

为什么每多一位，值的数量就翻倍？

从小的开始，把每一种组合列出来。

多加一位，每种旧组合就有两个版本：一个以 0 结尾，一个以 1 结尾。所以数量每次翻倍：2、4、8、16、32、64、128、256。这和二进制的位值是同一排数字，所以 8 位有 256 种组合，最大的数是 255。

怎样求一组项目需要几位？

1. 数一数必须区分的项目有多少个。
2. 找出最小的 n，使 2ⁿ 大于或等于这个数量。
3. 写出 n，并展示检查：2ⁿ 够用，而 2ⁿ⁻¹ 不够。

示范例子

一个天气传感器会报告 12 种不同天气代码中的一种，例如晴、多云和雨。每个代码至少需要几位？

2³ = 8，小于 12，所以 3 位不够。

2⁴ = 16，不小于 12，所以 4 位够用。

答案是 4 位。16 种组合中有 4 种没有用到，这没有问题。

再看一个关于颜色的例子。一幅图像的颜色深度是每像素 8 位。可用颜色：2⁸ = 256。

如果颜色深度提高到 24 位，颜色数量是 2²⁴ = 16 777 216。深度越大，颜色越丰富，但每个像素现在需要 24 位而不是 8 位，所以相同像素数下文件大三倍（24 ÷ 8 = 3）。

你可以在 Python 推理沙盒快速检查 2 的幂：print(2**8) 得到 256，print(2**24) 得到 16777216。

要留意的错误

常见的失误是把位数乘以 2，而不是用 2 的幂。

题目： 4 位可以表示多少个不同的值？

错误答案： 4 × 2 = 8。

这对 3 位是对的，对 4 位却不对。正确做法是 2 × 2 × 2 × 2 = 16。

第二种失误是把 8 位的最大数说成 256。组合有 256 种，但是从 0 开始，所以最大是 255。请把“有多少种组合？”和“最大的数是多少？”当成两个独立的问题。

自我检查

1. 6 位可以表示多少个不同的值？

2. 一间图书馆用二进制给 40 个图书类别编码。每个编码最少需要几位？

3. 一幅图像有 16 种颜色。需要多大的颜色深度？如果再加一位，颜色数量会怎样？

接下来学什么

学到图像和声音如何存储时，位深度会再次出现，可以从 Computer Science 学习指南找到相关单元。用综合练习检验本单元的所有内容。

老师可以通过线上一对一 Computer Science 补习帮你把这些规则变成清晰、拿得到分的解释。