本模块涵盖概率计算背后的推理：列出不会同时发生的结果、建立两步树状图、知道什么时候概率可以相乘、在物品不放回时更新分数，以及检查模型的总和是否为 1。这些技能能把一道冗长的题目变成简短、可检查的计算。
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你需要先具备哪些基础？
你需要会把概率写成分数、小数或百分数，并知道它介于 0 和 1 之间。你还应熟练分数的加法和乘法，包括通分。如果分数运算需要复习，可以看数感模块。
导入例题
一个袋子里有 4 个红球和 6 个蓝球。随机先后取出两个，不放回。求两个都是红球的概率。
第一步，第一次抽取。 P(红) = 4/10。
第二步，为不放回而更新。 一个红球已经取走，剩下 9 个球中有 3 个红球。P(红) = 3/9。
第三步，沿路径相乘。 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15。
检查整个模型。 红再蓝 = 4/10 × 6/9 = 24/90。蓝再红 = 6/10 × 4/9 = 24/90。蓝再蓝 = 6/10 × 5/9 = 30/90。把所有路径相加：12 + 24 + 24 + 30 = 90，所以总和是 90/90 = 1。
这一道题用到了树状图、独立性（在这里不成立）、不放回的更新和总和检查。它展示了五节课如何彼此相连。
应该按什么顺序学习？
- 用互斥结果表示事件：决定什么时候可以相加的列举习惯。
- 使用两步概率树状图：沿路径相乘，不同路径相加。
- 说明乘法为什么需要独立性：知道什么时候可以使用乘积规则。
- 物品不放回后更新概率：树状图题中最常丢分的地方。
- 检查结果模型的总和是否为一：最后一道检验，能抓出前面每一步的错误。
然后做综合练习题组。每天学一课，周末做练习题组，是一个稳定的节奏。
哪些陷阱最容易让学生中招？
- 把重叠的事件直接相加，例如同一组数字中的“偶数”和“3 的倍数”。
- 沿分支相加而不是相乘，或者在不同的替代路径之间相乘。
- 没有检验就假设独立，尤其是天气，或者从小群体中挑选的情形。
- 不放回时把第一步的分数照抄到第二步。
- 跳过总和检查，以致缺失的分支没被发现。
每一课都会完整展示其中一种错误，然后加以改正。
练习题组该怎么用？
在打开答案之前，先在纸上做每一道题，而且即使觉得可以心算，也要画出树状图。概率树状图与计数板可以让你建立树状图并与自己画的对照。错题记录与重测队列适合记录你犯的是哪一类错误，以便之后用新题目重测。
做错时，请阅读练习题组末尾的指引，回到它指出的那一课。先把那一课学好，几天后再做一道类似的题。
如果你想要超出自学的指导，数学线上一对一补习意味着由经验丰富的老师阅读你的书面解答，找出每个错误背后的习惯。