这个单元讲的是答案必须保持精确时的推理：根式（surd）、三角函数的精确值、看出规律后就变得简洁的表达式、简短的证明，以及用第二种方法检验结果的习惯。贯穿全部内容的只有一个想法：动手计算之前，先看题目的结构。
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需要先具备哪些基础？
你需要熟练因式分解、展开括号、化简根式，并了解三角函数的基本概念。如果二次式还不稳，可先复习二次式结构与判别式，恒等式部分请看三角恒等式。
一道引导例题
已知 x = 2 + √3，求 x + 1/x 的精确值，再求 x² + 1/x²。
第 1 步，求 1/x： 1/(2 + √3)。分子分母同乘 2 − √3，分母变成 4 − 3 = 1，所以 1/x = 2 − √3。
第 2 步，相加： x + 1/x = (2 + √3) + (2 − √3) = 4。根式互相抵消。
第 3 步，用结构而不是代入： (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²，所以 x² + 1/x² = 4² − 2 = 14。
用长的方法检验： x² = 7 + 4√3，1/x² = 7 − 4√3，相加得 14。两种方法一致。
把 2 + √3 和它的倒数分别平方也行得通，但利用结构，一行就得到答案。
应该按什么顺序学习？
- 使用精确的根式与三角函数值：30°、45°、60° 的精确值和分母有理化，是整个单元的基本词汇。
- 先用代数，再做数值代入：说明和与积、或和与倒数，如何在不求出未知数的情况下得到答案。
- 识别结构，化简冗长的表达式：因式分解和公共幂次让长分式变短。
- 解释计算器无法给出的证明步骤：为什么代几个数不算证明，以及如何说明关键一步的理由。
- 用第二种独立方法检验结果：在丢分之前抓出失误。
然后做综合练习。每天一课、周末做练习，是稳当的节奏。
哪些陷阱最容易绊倒学生？
- 漏掉中间项：平方含根式的括号时，(√3 + 1)² 被写成 4，而不是 4 + 2√3。
- 记错精确值，例如把 sin 60° 写成 1/2。
- 跨越加号约分，而不是先因式分解。
- 用三个例子验证规律就称之为证明。
- 用同一种方法当作检验，结果把同一个失误重复了一遍。
每一课都会完整展示其中一种，然后加以纠正。
如何使用练习？
每道题都在纸上、不用计算器完成，动笔前用一行写下你看出的结构。然后对照详解。
免计算器演算训练器可以对精确运算给出第二意见，错题记录则帮你记下自己踩的是哪个陷阱。想在这个课题上获得帮助，可以看附加数学补习。