要展开 (a + b)ⁿ，先写出幂为 n 的二项式系数，再给每一项配上 a 的递减幂和 b 的递增幂。题目说”展开”或”求前三项”时就会用到这项技能，它也支撑二项式展开的其他每一课。
这个规律是怎么运作的？
每一项的形式是（系数）× aⁿ⁻ʳ × bʳ，其中 r 从 0 取到 n。a 和 b 的幂相加永远等于 n。
幂为 4 时，系数是 1, 4, 6, 4, 1。它们来自帕斯卡三角形（每个数是上面两数之和），也可以用计算器的 nCr 功能得到。幂为 n 的一行有 n + 1 个数，总和为 2ⁿ。
让每一项各就各位的排版
- 写出系数：把这个幂的系数写成一行。
- 写出第一部分，幂从 n 递减到 0，并保留括号：(2x)⁴、(2x)³、(2x)²、(2x)¹、(2x)⁰。
- 写出第二部分，幂从 0 递增到 n，同样保留括号：3⁰、3¹、3²、3³、3⁴。
- 逐列相乘，边乘边化简数字。
- 把各项相加，并检验结果。
例题详解
展开 (2x + 3)⁴。
第一步，系数： 1, 4, 6, 4, 1。
第二步，逐项计算：
- 1 × (2x)⁴ × 3⁰ = 1 × 16x⁴ × 1 = 16x⁴
- 4 × (2x)³ × 3¹ = 4 × 8x³ × 3 = 96x³
- 6 × (2x)² × 3² = 6 × 4x² × 9 = 216x²
- 4 × (2x)¹ × 3³ = 4 × 2x × 27 = 216x
- 1 × (2x)⁰ × 3⁴ = 1 × 1 × 81 = 81
第三步，相加：
(2x + 3)⁴ = 16x⁴ + 96x³ + 216x² + 216x + 81
第四步，用 x = 1 检验： 左边是 5⁴ = 625。右边是 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625。两边一致。
要留意的错误
最常见的失误是只对 x 取幂，而不是对整个第一部分取幂。
错误做法： 4 × 2x³ × 3 = 24x³
学生写成 2x³ 而不是 (2x)³ = 8x³，所以 x³ 的系数变成 24，而不是 96。
改正的方法是在化简之前始终保留括号。先写 (2x)³，再写 8x³。用 x = 1 检验可以立刻发现这个问题，因为总和会小得离谱。
自我检测
先试做，再打开答案核对。
1. 展开 (x + 2)⁵。
查看答案
系数 1, 5, 10, 10, 5, 1。各项：x⁵；5 × x⁴ × 2 = 10x⁴；10 × x³ × 4 = 40x³；10 × x² × 8 = 80x²；5 × x × 16 = 80x；2⁵ = 32。
x⁵ + 10x⁴ + 40x³ + 80x² + 80x + 32
用 x = 1 检验：3⁵ = 243，而 1 + 10 + 40 + 80 + 80 + 32 = 243。
2. 写出幂为 6 的二项式系数，并说明它们的和是 64。
查看答案
1, 6, 15, 20, 15, 6, 1。 总和是 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2⁶。
3. 展开 (1 + 3x)³。
查看答案
系数 1, 3, 3, 1。各项：1；3 × 3x = 9x；3 × (3x)² = 3 × 9x² = 27x²；(3x)³ = 27x³。
1 + 9x + 27x² + 27x³
用 x = 1 检验：4³ = 64，而 1 + 9 + 27 + 27 = 64。
下一步
当完整展开变得稳定后，学习不必写出所有项，直接求指定的项。之后，用简单代入法检验展开式会给你一个保护每道答案的习惯。无计算器运算训练适合用来练习这些系数的精确运算。
有些学生能看懂每一行，但排版全靠记忆时就会失分。这正是我们的老师在附加数学线上一对一补习中会留意的地方。