扇形和它里面的三角形共用两条半径和圆心角。两者的差就是弓形（segment），即弦与弧之间的区域。弧度、弧长与扇形中的这一课，把上一课的扇形公式，和你以前学过的三角形面积结合起来。
这两个面积怎样比较？
对于半径为 r、角为 θ（弧度）的扇形 OAB：
| 图形 | 面积 |
|---|---|
| 扇形 OAB | ½r²θ |
| 三角形 OAB | ½r² sin θ |
| 弓形（弦与弧之间） | ½r²θ − ½r² sin θ = ½r²(θ − sin θ) |
当 θ 在 0 与 π 之间时，扇形总是比三角形大。两者之差就是弓形，所以值得在图上把两个图形都画出来。
怎样一步步解题？
- 画出扇形并画上弦， 标出 O、A、B、r 和 θ。
- 求扇形面积 ½r²θ，θ 用弧度。
- 求三角形面积 ½r² sin θ，计算器用弧度模式。
- 相减： 扇形减去三角形，得到弓形。
- 保留完整的中间值 到最后一行，再只四舍五入一次。
例题详解
一个扇形的半径为 10 cm，角为 1.2 rad。求弓形的面积和弦 AB 的长度。答案保留 3 位有效数字。
步骤 1，扇形： ½ × 10² × 1.2 = ½ × 100 × 1.2 = 60 cm²。
步骤 2，三角形： ½ × 10² × sin 1.2 = 50 × 0.93204 = 46.602 cm²。
步骤 3，弓形： 60 − 46.602 = 13.398，所以 13.4 cm²。
步骤 4，弦： 2r sin(θ/2) = 20 × sin 0.6 = 20 × 0.56464 = 11.293，所以 11.3 cm。
检查： 弦（11.3 cm）比弧 rθ = 12 cm 短，这是应该的，因为两点之间直线最短。✓
要留意的错误
常见的错误是在角度模式下计算 sin θ，或用错角去求三角形。
错误解法： 三角形 = 50 × sin 1.2 = 50 × 0.0209 = 1.05 cm²，所以弓形 = 58.95 cm²
计算器在角度模式，用的是 1.2°。弓形不可能几乎和整个扇形一样大。
更正方法是设成弧度模式，并做合理性检查：弓形应该是扇形的一小片，这里是 60 中的 13.4。在弧度模式下 sin 1 = 0.8415 这个测试可以确认设置。
自我检测
1. 一个扇形的半径为 8 cm，角为 π/2。求弓形的精确面积，再保留 3 位有效数字。
查看答案
扇形：½ × 64 × π/2 = 16π。三角形：½ × 64 × sin(π/2) = 32 × 1 = 32。弓形：16π − 32 = 18.265…
16π − 32 cm²，即 18.3 cm²
2. 一个扇形的半径为 5 cm，角为 2 rad。求弓形的面积，保留 3 位有效数字。
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扇形：½ × 25 × 2 = 25。三角形：½ × 25 × sin 2 = 12.5 × 0.90930 = 11.366。弓形：25 − 11.366 = 13.634。
13.6 cm²
3. 一个扇形的半径为 6 cm，角为 π/6。求弓形的精确面积。
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扇形：½ × 36 × π/6 = 3π。三角形：½ × 36 × sin(π/6) = 18 × ½ = 9。弓形：3π − 9 = 0.4248…
3π − 9 cm²（约 0.425 cm²）。角很小，所以弓形很薄。
下一步
现在把弧、扇形和周长结合起来：解含弧的周长条件。免计算器演算训练器适合练习像 16π − 32 这样的精确答案。
如果你单独求每个面积都没问题，但阴影区域的图仍让你困惑，老师可以在线上一对一附加数学补习中陪你逐题拆解。