计算扇形面积

要求扇形（sector）面积，用 A = ½r²θ，θ 用弧度。它是弧度、弧长与扇形中弧长公式的搭档，来自同一个想法：扇形是圆的一个分数。

为什么有一个二分之一？

角为 θ 的扇形是整个圆的 θ/2π。圆的面积是 πr²，所以扇形面积是 (θ/2π) × πr²。π 约掉，2 留在分母，得到 ½r²θ。

代入 s = rθ，得到第二种形式 A = ½rs。它看起来像底为 s、高为 r 的三角形面积，这是很好的记忆方法。

怎样一步步使用？

1. 把角写成弧度， 必要时先换算。
2. 选择形式： 有 r 和 θ 就用 ½r²θ，有 r 和弧长就用 ½rs。
3. 代入并化简， 如果要精确值就保留 π。
4. 写上平方单位。
5. 检查大小： 扇形面积必须小于整个圆的面积 πr²。

例题详解

一个扇形的半径为 6 cm，角为 2π/3。求面积，先用 π 表示，再保留 3 位有效数字。

步骤 1，角： 已经是弧度，2π/3。

步骤 2，代入： A = ½ × 6² × 2π/3 = ½ × 36 × 2π/3。

步骤 3，化简： ½ × 36 = 18，18 × 2π/3 = 12π。

步骤 4，求值： 12π = 37.699…，所以 A = 37.7 cm²（3 位有效数字）。

检查： 整个圆的面积是 36π，2π/3 是 2π 的三分之一。36π 的三分之一是 12π。✓

要留意的错误

常见的错误是漏掉二分之一，或把二分之一放错地方。

错误解法： A = r²θ = 36 × 2π/3 = 24π

这正好是正确面积的两倍。它比半个圆还大，而角为 2π/3 的扇形只占圆的三分之一。

更正方法是与整个圆比较：占圆三分之一的扇形，面积不可能超过 36π/3 = 12π。只要你的答案比圆的分数所暗示的大，就去找漏掉的二分之一。

自我检测

1. 求半径 4 cm、角 1.5 rad 的扇形面积。

2. 一个扇形的半径为 9 cm，角为 π/3。求面积，用 π 表示，并保留 3 位有效数字。

3. 一个扇形的面积为 50 cm²，半径为 8 cm。求角（弧度）。

下一步

接下来看扇形与它内部三角形的关系：比较扇形与其内接三角形。免计算器演算训练器帮你整理带 π 的精确答案。

有些学生每条公式单独用都没问题，但题目没说用哪一条时就卡住。线上一对一附加数学补习中的老师可以和你一起练习这个选择。