两条直线的交点，就是同时使两个方程成立的那一对数值。在真实问题里，这一对数值通常标志着收支平衡点、相遇点，或两个量相等的时刻。
这一课接在联立关系的两种解法之后。你已经会求 x 和 y，现在学的是求出之后要写什么。
怎样把方程变成句子？
情境中的每个方程都由固定部分和变化部分组成。在 C = 30 + 5n 里，30 是固定费用，5 是每多一次的费用。
当你解 C = 30 + 5n 和 C = 10 + 9n 这一对方程时，其实是在问：“n 是多少时，两个费用相同？“答案就是那个 n，加上共同的费用。
步骤
- 用文字定义字母，并加上单位（n = 次数，C = 费用，单位 RM）。
- 每种情况写一个方程。
- 如果两个都已经是”C = …”，就令它们相等；否则用消元法或代入法。
- 先解出一个值，再求第二个值。
- 在两个方程中检查。
- 写一句话，用上情境、数字和单位。
- 如果题目问哪个选项更好，要比较交点之后的情况。
例题详解
一间健身房提供两个方案。方案 A 入会费 RM30，每次使用 RM5。方案 B 入会费 RM10，每次使用 RM9。
使用多少次时两个方案费用相同？之后哪个更便宜？
第一步，定义： n = 使用次数，C = 总费用（RM）。
第二步，方程： A：C = 30 + 5n。B：C = 10 + 9n。
第三步，令相等： 30 + 5n = 10 + 9n，所以 20 = 4n，n = 5。
第四步，费用： A 得 30 + 25 = 55，B 得 10 + 45 = 55，都是 RM55。
第五步，写句子： 使用 5 次之后，两个方案费用相同，都是 RM55。
第六步，交点之后： B 每次上升 RM9，A 每次上升 RM5，所以 B 增长得更快。使用超过 5 次时，方案 A 更便宜。在 10 次时验证：A 是 RM80，B 是 RM100。
要留意的错误
常见的失误是只写数字就停了。
错误答案： “n = 5。”
这没有说明 n 是什么，没有给出共同的费用，也没有回答”哪个更便宜”。
满分答案会写出量的名称和单位，并回答题目所问。第二个失误是因为方案 B 的入会费较低，就说 B 更便宜。这只在交点之前成立，在这里，使用超过 5 次后就不成立了。
自我检测
先在纸上做，再打开答案核对。
1. 方案 P 的费用是 C = 15 + 2t，方案 Q 是 C = 5 + 3t，其中 t 是小时数，C 的单位是 RM。何时两者相等？20 小时时哪个更便宜？
查看答案
令相等：15 + 2t = 5 + 3t，所以 t = 10。费用是 15 + 20 = 35。检查 Q：5 + 30 = 35。20 小时时，P 是 15 + 40 = 55，Q 是 5 + 60 = 65，所以 P 更便宜。
10 小时时两者都是 RM35；20 小时时 P 更便宜。
2. 水箱 A 有 40 升水，每分钟流出 4 升。水箱 B 有 10 升水，每分钟注入 2 升。何时水量相等？各有多少升？
查看答案
V = 40 − 4t 和 V = 10 + 2t。令相等：40 − 4t = 10 + 2t，所以 30 = 6t，t = 5。再得 V = 10 + 10 = 20。检查 A：40 − 20 = 20。
5 分钟后，两个水箱各有 20 升。
3. 直线 y = 3x + 6 和 y = x + 2 代表两个储蓄计划，x 是从现在起的周数。解是 x = −2，y = 0。这个答案在情境中合理吗？
查看答案
令相等：3x + 6 = x + 2，所以 2x = −4，x = −2。检查：3(−2) + 6 = 0，−2 + 2 = 0。负的 x 表示两周之前，也就是两条线在计划开始之前就相交了。
代数是对的，但交点在有用范围之外，所以从现在起两个计划的储蓄永远不会相等。
下一步
接下来是解一次与二次方程组，那里的交点可能有两个。你也可以在联立关系练习题组中练习全部内容。无计算器运算训练适合用来检查费用比较中的运算。
能正确解题却在文字表述上丢分的学生，往往通过对照自己的句子和示范句子批改而受益。这正是数学线上一对一补习可以专注的细节。