用消元法解两个一次方程，就是让某个字母在两个方程里的系数一样大，然后把两个方程相加或相减，使这个字母消失。你会得到只含一个未知数的方程，这个你已经会解。
联立方程（simultaneous equations）常出现在 Extended 风格的代数题，也会出现在应用题和图表题。这一课是联立关系的第一种方法，与代入法互相搭配。
为什么消元法行得通？
每个方程都是关于同一对数字的真命题。把两个真命题相加，或用一个减去另一个，结果仍然是真命题。所以我们可以用某种方式组合方程，让一个字母被抵消。
唯一需要的技巧是选好组合方式：先让一对系数大小相同，再决定用加还是用减。
步骤
- 给方程编号 (1) 和 (2)，并把字母按列对齐。
- 选一个要消掉的字母，挑系数最容易变成相同的那个。
- 把每个方程乘以一个整数，使所选字母的系数大小相同。要乘每一项，包括等号右边。
- 符号相反就相加，符号相同就相减。
- 解只含一个字母的方程。
- 代回原来的方程，求另一个字母。
- 检查另一个原方程。
例题详解
解：2x + 3y = 13 (1) 和 5x − 2y = 4 (2)
第一步，选 y。 系数是 3 和 −2。3 和 2 的最小公倍数是 6，所以目标是 +6y 和 −6y。
第二步，相乘。 (1) × 2 得 4x + 6y = 26。(2) × 3 得 15x − 6y = 12。
第三步，相加，因为 +6y 和 −6y 符号相反：19x = 38，所以 x = 2。
第四步，代入 x = 2 到 (1)：4 + 3y = 13，所以 3y = 9，y = 3。
第五步，检查 (2)：5(2) − 2(3) = 10 − 6 = 4，与右边相符。
答案：x = 2，y = 3。
要留意的错误
最常见的失误是只乘左边，忘了乘右边。
错误做法： (1) × 2 得 4x + 6y = 13，(2) × 3 得 15x − 6y = 12。相加得 19x = 25。
学生把 2x 和 3y 加倍了，却保留 13 不变，所以新方程不再成立。
改正的办法是把方程看成一个天平：一边怎么做，另一边也怎么做，所以 13 要变成 26。一个好习惯是从乘数画箭头指向每一项，包括右边的数字。
自我检测
先在纸上做，再打开答案核对。
1. 解 x + y = 11 和 x − y = 3。
查看答案
y 项符号相反，所以相加：2x = 14，x = 7。再由 7 + y = 11 得 y = 4。检查：7 − 4 = 3，相符。
x = 7，y = 4
2. 解 3x + 4y = 18 和 3x + y = 9。
查看答案
x 项符号相同，所以用 (1) 减 (2)：3y = 9，y = 3。再由 3x + 3 = 9 得 x = 2。检查 (1)：6 + 12 = 18，相符。
x = 2，y = 3
3. 解 2x + 5y = 1 和 3x + 2y = −4。
查看答案
消 x。(1) × 3 得 6x + 15y = 3。(2) × 2 得 6x + 4y = −8。相减：11y = 11，y = 1。再由 2x + 5 = 1 得 x = −2。检查 (2)：3(−2) + 2 = −4，相符。
x = −2，y = 1
下一步
如果其中一个方程已经把某个字母单独列出，代入法通常更快。之后可以在在情境中解读交点里看答案的意义，再用联立关系练习题组检测。无计算器运算训练能帮你检查运算步骤。
有些学生能看懂例题的每一行，但一换题目、符号一变就卡住。这正是我们的老师在数学线上一对一补习中会留意的模式。