直线与圆的交点探索器接受直线 Ax + By = C 和圆 (x − h)² + (y − k)² = r²。它把其中一个代入另一个，解出得到的二次方程，并告诉你直线与圆是不相交、相切还是相割。
工作过程的顺序和你在答案里写的一样，方便你与自己的作答对照。
怎么使用？
- 把直线输入为 A、B、C。水平线 y = 0 是 A = 0、B = 1、C = 0。竖直线 x = 2 是 A = 1、B = 0、C = 2。
- 输入圆心 h、k 和半径 r。
- 按求交点。
- 按重置回到示例：直线 y = 0 和圆 x² + y² = 9。
如果你手上是 y = mx + c，先把 x 项移过来。直线 y = x + 1 变成 −x + y = 1，所以 A = −1、B = 1、C = 1。
怎么看结果？
前几行显示代入后得到的二次方程：B 不为 0 时是关于 x 的方程，竖直线时是关于 y 的方程。接着是**判别式（discriminant）**及其含义：
- 大于零：两个交点，直线是割线；
- 等于零：一个交点，直线是切线；
- 小于零：没有交点。
几何检查把圆心到直线的距离与半径作比较。距离小于半径表示两个交点，等于半径表示相切，大于半径表示不相交。
如果有交点，工具会列出坐标和残差表，直线和圆的残差都应约等于 0。图示按比例绘制，并标出交点。
示例演示
取直线 y = x + 1，即 A = −1、B = 1、C = 1，以及圆 x² + y² = 25，所以 h = 0、k = 0、r = 5。
代入得 2x² + 2x − 24 = 0，化简为 x² + x − 12 = 0。工具所用方程的判别式是 4 + 192 = 196，为正，所以直线与圆相交两次。
解得 x = 3 或 x = −4，对应的 y 值是 4 和 −3，所以交点是 (3, 4) 和 (−4, −3)。检验 (3, 4)：3² + 4² = 25，且 4 = 3 + 1。两个残差都是 0。
圆心到直线的距离是 1/√2，约 0.7071，小于 5，与两个交点相符。
再试直线 y = 3 配示例的圆（A = 0、B = 1、C = 3）。方程是 x² = 0，判别式为零，工具报告在 (0, 3) 处相切。到直线的距离是 3，等于半径。
把 C 改成 4，判别式变为负数，就没有交点。
有哪些假设和限制？
- A 和 B 不能同时为 0，那不是直线。
- 半径必须大于 0。半径为零或负数都不是圆。
- 与零极其接近的判别式会被当作零，页面上会说明容差。小于 1e-12 的残差显示为 0。
- 答案以保留四位的小数显示，不是根式形式。考试时若题目要求，请给出精确值。
- 工具按你输入的数值计算，不会检查你是否抄对了题目。
哪些课程解释了背后的道理？
- 把直线代入圆的关系式建立工具最先显示的二次方程。
- 求直线与圆的交点完整展示同样的求解步骤。
- 利用切线垂直于半径解释几何检查。
- 解决相切的参数条件把判别式为零的情形变成含未知数的题目。
- 圆的坐标方法练习提供混合题。
这个主题在圆的坐标几何中。如果想让老师检查你在真实题目上的方法，请看线上一对一附加数学补习。其他工具见学习工具目录。