利用切线垂直于半径

切线与圆只接触一个点，而且在这个点上与半径垂直。所以要求切线，先求半径的斜率，换成垂直的斜率，再配合切点使用。

这一课属于圆的坐标方法，用到直线与线性化中的垂直斜率规则。切线题既会单独出现，也会作为较长圆题的一部分。

这个方法背后的规则是什么？

两条斜率为 m₁ 和 m₂ 的直线垂直时，m₁ × m₂ = −1。所以半径的斜率是 m，切线的斜率就是 −1/m。

用话来说：分数倒过来，再变号。半径斜率 4/3，切线斜率就是 −3/4。

具体怎么做，一步一步来？

1. 求圆心，需要时用配方，并确认这个点确实在圆上。
2. 求半径的斜率，从圆心到这个点。
3. 倒数再变号，得到切线的斜率。
4. 使用 y − y₁ = m(x − x₁)，代入切点和切线斜率。
5. 整理方程，并检查切点是否在其上。

例题

求圆 (x − 3)² + (y + 2)² = 25 在点 P(6, 2) 的切线方程。

第 1 步，圆心与检查： 圆心是 (3, −2)。在 P：(6 − 3)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25，所以 P 在圆上。✓

第 2 步，半径的斜率： 从 (3, −2) 到 (6, 2)，斜率是 (2 − (−2)) ÷ (6 − 3) = 4/3。

第 3 步，切线斜率： −3/4。

第 4 步，经过 P 的直线： y − 2 = −3/4 (x − 6)。两边乘 4：4y − 8 = −3x + 18。

第 5 步，整理： 3x + 4y = 26。

检查： P 代入得 18 + 8 = 26 ✓。圆心 (3, −2) 到直线的距离是 |9 − 8 − 26| ÷ 5 = 25 ÷ 5 = 5，等于半径。✓

要留意的错误

常见的错误是求出半径斜率之后就停下，直接拿来当切线的斜率。

错误答案： y − 2 = 4/3 (x − 6)，即 4x − 3y = 18

学生求出半径斜率 4/3 后直接使用。这条线是半径所在的直线，不是切线。

改正的方法是在每份解答里多写一行：“切线斜率 = −1 ÷ 半径斜率”。另一个常见错误是只倒数不变号，得到 3/4 或 −4/3，所以要把两个斜率相乘，确认乘积是 −1。

自我检测

1. 求 x² + y² = 13 在 (2, 3) 的切线。

2. 求 (x − 1)² + (y − 2)² = 10 在 (4, 3) 的切线。

3. 求 (x + 1)² + (y − 4)² = 9 在 (2, 4) 的切线。

接下来学什么

切线掌握之后，继续学解出相切的参数条件，再用圆的练习检验这个课题。无计算器运算训练器和二次结构探索器能帮助你处理随后的运算与判别式检查。

如果你明白切线为什么垂直，却在时间压力下仍然弄错符号，老师可以在一对一线上附加数学补习中和你一起调整做题的流程。