直线与圆恰好相交于一点时，这条直线就是圆的切线。要求出 k 这类参数，把直线代入圆，整理出二次方程，再令判别式等于零。
这一课结合了求直线与圆的交点和二次结构与判别式中的判别式内容。它属于圆的坐标方法。
判别式的每种取值代表什么？
代入之后得到二次方程 ax² + bx + c = 0，其系数可能含有 k。判别式是 b² − 4ac。
| 判别式 | 交点个数 | 直线是 |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | 2 | 割线（与圆相交两次） |
| b² − 4ac = 0 | 1 | 切线 |
| b² − 4ac < 0 | 0 | 在圆外 |
所以相切的条件把几何题变成了关于 k 的方程。
具体怎么做，一步一步来？
- 代入：把直线代入圆，k 保持为字母。
- 展开：小心处理，包括中间的 k 项。
- 整理：写成 ax² + bx + c = 0，其中 b 和 c 可能含有 k。
- 令 b² − 4ac = 0，解出 k，这通常是一个关于 k 的二次方程。
- 写出所有解，然后用求切点或距离的方法检查其中一个值。
例题
求 k 的值，使直线 y = x + k 与圆 x² + y² = 8 相切。
第 1 步，代入： x² + (x + k)² = 8。
第 2 步，展开并整理： x² + x² + 2kx + k² − 8 = 0，所以 2x² + 2kx + (k² − 8) = 0。
第 3 步，判别式： a = 2，b = 2k，c = k² − 8。
b² − 4ac = 4k² − 8(k² − 8) = 4k² − 8k² + 64 = 64 − 4k²。
第 4 步，令其为零： 64 − 4k² = 0，所以 k² = 16，k = 4 或 k = −4。
检查： k = 4 时，二次方程是 2x² + 8x + 8 = 0，得 (x + 2)² = 0，所以 x = −2，y = 2。点 (−2, 2) 在圆上，因为 4 + 4 = 8。✓ 距离法的结果一致：|k| ÷ √2 = 2√2，得 |k| = 4。
当 64 − 4k² > 0，即 −4 < k < 4 时，直线与圆相交两次。
要留意的错误
常见的错误是只写出一个 k 值。
错误答案： k² = 16，所以 k = 4
学生只取了正的平方根，没有注意到第二条切线。
改正的方法是每次开平方都写 ±：k = ±4。画出圆和直线 y = x + k 就能看到原因：圆的两侧各有一条切线。另一个错误是令判别式大于零，那样求出的是 k 的范围，不是相切的值。
自我检测
1. 求 k，使 y = 2x + k 与 x² + y² = 5 相切。
查看答案
x² + (2x + k)² = 5 得 5x² + 4kx + k² − 5 = 0。判别式是 16k² − 20(k² − 5) = 100 − 4k²。令其为 0：k² = 25。
k = 5 或 k = −5。检查：|k| ÷ √5 = √5，得 |k| = 5。✓
2. 求 m，使 y = mx + 4 与 x² + y² = 4 相切。
查看答案
x² + (mx + 4)² = 4 得 (1 + m²)x² + 8mx + 12 = 0。判别式是 64m² − 48(1 + m²) = 16m² − 48。令其为 0：m² = 3。
m = √3 或 m = −√3。检查：4 ÷ √(1 + 3) = 2，等于半径。✓
3. k 取什么值时，y = x + k 与 x² + y² = 8 相交于两个不同的点？
查看答案
判别式是 64 − 4k²。它必须大于 0，所以 k² < 16。
−4 < k < 4。
接下来学什么
接下来反过来学把几何条件转换成圆的方程，再用圆的练习检验这个课题。直线与圆交点探索器会显示相切的情形，二次结构探索器则显示系数变化时判别式的表现。
如果学生每一步都会做，却在带字母的题目里失去思路，老师可以在一对一线上附加数学补习中和你一起练习规划解题。