本单元用积分回答两类问题：曲线与坐标轴之间有多大面积，以及粒子走了多远、最后在哪里。一个想法贯穿两者：定积分把带符号的小块加起来，所以你必须留意符号在哪里改变。
请查看 Cambridge 官网最新的 Additional Mathematics 0606 课程大纲，确认你所考年份的准确内容和计算器规定。我们的附加数学学习指南会显示本单元在整体中的位置。
需要先具备哪些基础？
你需要会对幂函数积分并计算定积分，这些内容在积分方法中。运动部分还需要切线、法线与变化率中的微分和变化率。能快速分解二次式，找根时可以节省时间。
导入例题
粒子速度为 v = t² − 4 m/s（0 ≤ t ≤ 3）。求位移和路程。
第 1 步，求 v = 0 的时刻： t² − 4 = 0，所以 t = 2（t = −2 在区间外）。
第 2 步，积分： s = t³/3 − 4t。
第 3 步，各值： s(0) = 0，s(2) = 8/3 − 8 = −16/3，s(3) = 9 − 12 = −3。
第 4 步，位移： s(3) − s(0) = −3 m。
第 5 步，路程： 0 到 2，粒子向后移动 16/3 m。2 到 3，它向前移动 −3 − (−16/3) = 7/3 m。总和 = 16/3 + 7/3 = 23/3 m。
这一题用到了求根、积分和符号检查。求曲线与 x 轴之间的面积也是同样的步骤，只是速度扮演了 y 的角色。
应该按什么顺序学习？
- 求曲线与坐标轴之间的面积：基本想法 F(上限) − F(下限)，针对始终在轴上方的曲线。
- 面积符号改变时分段积分：为什么积分会抵消，以及如何在根处分段得到真实面积。
- 由速度计算位移：同样的积分，现在解读为位置的变化。
- 区分路程与位移：用分段的想法，在粒子折返时把两者区分开。
- 联系位置、速度与加速度：完整的链，一个方向微分，另一个方向积分，常数由条件确定。
然后做综合练习。每天一课，周末做练习，是稳当的节奏。
哪些陷阱最容易让学生中招？
- 只代入上限，忘了减去下限。
- 跨过根直接积分，正负两部分抵消，面积看起来偏小。
- 题目问路程，却给出位移。
- 速度是随 t 变化的公式时用了 s = vt。
- 积分求速度或位置时漏了常数。
- 加速度含有 t 时用了恒加速度公式。
每一课都会完整展示其中一个失误，再给出纠正。
该怎么使用练习题？
按顺序在纸上做完十二道题，把上下限和符号都写清楚。之后用练习题末尾的分类清单，把每个错误送到对应的那一课。
记下简短的错误类型。错题记录与重测队列可以保存它们，方便你一周后重测。
每一课都懂、碰到综合题却卡住的学生，往往需要有人看看他们是怎么起步的。这正是我们在一对一线上附加数学补习中做的事。