位移是位置的净变化，路程是走过的路径总长度。 只要粒子折返，两者就会不同，因为向后的运动在位移里抵消了向前的运动，却仍然增加路程。
方法直接来自面积符号改变时分段积分，只是用在速度上。你还需要由速度计算位移。
这两个量有什么不同？
想象一辆巴士向东开 4 km，再向西开 4 km 回到车场。它的位移是 0 km，因为终点就是起点。它的路程是 8 km。
在微积分里，位移是 ∫ v dt，向前和向后的部分可以互相抵消。路程是 ∫ |v| dt，每一部分都算成正的。实际操作时，就是在 v = 0 处分段。
如何求路程
- 解 v = 0，找出粒子静止的时刻。
- 保留区间内的时间。 这些就是分段点。
- 对每一段积分 v，得到该段的位移。
- 取每一段的正值。
- 相加。 总和就是路程。
如果只求位移，在整个区间一次积分即可。
例题
粒子速度为 v = 3t² − 12t + 9 m/s（0 ≤ t ≤ 4）。求 (a) 位移，(b) 路程。
第 1 步，因式分解： v = 3(t² − 4t + 3) = 3(t − 1)(t − 3)。所以 v = 0 时 t = 1 和 t = 3，都在区间内。
第 2 步，积分： 从 t = 0 起算，时刻 t 的位移函数为 s = t³ − 6t² + 9t。
s(0) = 0，s(1) = 1 − 6 + 9 = 4，s(3) = 27 − 54 + 27 = 0，s(4) = 64 − 96 + 36 = 4。
(a) 位移： s(4) − s(0) = 4 − 0 = 4 m。
(b) 分段求路程：
- 0 到 1：s 从 0 变到 4，向前 4 m。
- 1 到 3：s 从 4 变到 0，向后 4 m。
- 3 到 4：s 从 0 变到 4，向前 4 m。
路程 = 4 + 4 + 4 = 12 m。
检查： v 的符号可以确认方向。t = 0 时 v = 9（向前）。t = 2 时 v = 12 − 24 + 9 = −3（向后）。t = 4 时 v = 48 − 48 + 9 = 9（向前）。
要留意的错误
常见的失误是题目问路程，却给出了位移。
错误答案： 路程是 s(4) − s(0) = 4 m。
学生在整个区间一次积分。向前和向后的部分部分抵消了，所以 4 m 是净变化，不是路径长度。
纠正方法是先列出 v = 0 的时刻。如果其中任何一个严格落在区间内，而且 v 在那里改变符号，两个答案就会不同。读题时要在关键词下划线：路程、位移、位置或最终位置。
自我检测
先在纸上做，再打开每个答案。
1. 粒子速度为 v = 8 − 2t m/s（0 ≤ t ≤ 6）。求走过的路程。
显示答案
v = 0 时 t = 4。位移函数为 s = 8t − t²。
s(0) = 0，s(4) = 32 − 16 = 16，s(6) = 48 − 36 = 12。
0 到 4：向前 16 m。4 到 6：向后 4 m。
路程 = 16 + 4 = 20 m（位移是 12 m）
2. 粒子速度为 v = t² − 4 m/s（0 ≤ t ≤ 3）。求位移和路程。
显示答案
v = 0 时 t = 2。位移函数为 s = t³/3 − 4t。
s(0) = 0，s(2) = 8/3 − 8 = −16/3，s(3) = 9 − 12 = −3。
位移 = s(3) − s(0) = −3 m。
0 到 2：向后 16/3 m。2 到 3：−3 − (−16/3) = 7/3 m，向前。
路程 = 16/3 + 7/3 = 23/3 m（7⅔ m）
3. 粒子速度为 v = 2t + 1 m/s（0 ≤ t ≤ 3）。不分段，说明为什么路程等于位移，并求出它。
显示答案
t ≥ 0 时，2t + 1 恒为正，所以粒子从不折返。
s = t² + t。s(3) − s(0) = 12 − 0。
路程 = 位移 = 12 m
接下来学什么
下一课联系位置、速度与加速度，把这些积分与微分串成一条链。你可以用无计算器步骤训练器练习带符号的运算，并用二次函数结构探索器检查因式分解。
同时考路程和位移的题目，靠的是稳定的解题流程，而不是速度。我们的老师可以在一对一线上附加数学补习中帮你建立这套流程。