速度是位置的导数，加速度是速度的导数。 要往反方向走，就积分。每一道含有 t 的公式的运动学题，都是沿着这条链走的一条路径，题目里的条件会确定各个常数。
本课把由速度计算位移中的积分，与你在切线、法线与变化率学过的微分结合起来。它也为路程与位移的区别收尾。
这三个量如何联系？
用下面这条链，从左往右写：
位置 s → 速度 v → 加速度 a
每个向右的箭头表示微分：v = ds/dt，a = dv/dt。每个向左的箭头表示积分，并加上一个常数，由给定条件来确定。
单位也有帮助。米，然后米每秒，再然后米每二次方秒：每一步都多除以一个秒。
题目的书写步骤
- 先写出这条链，标出题目给的是哪个量。
- 选择方向。 从 s 或 v 往更右边的量，做微分。从 a 或 v 往更左边的量，做积分。
- 每次积分都加常数。
- 用给定条件，例如”t = 0 时 v = 2”，求出每个常数。
- 最后才代入所求的时间。
例题
粒子的加速度为 a = 6t − 4 m/s²。t = 0 时速度为 2 m/s，位置距 O 1 m。求 t = 2 时的速度和位置。
第 1 步，对 a 积分： v = 3t² − 4t + c。t = 0 时 v = 2，所以 c = 2。
v = 3t² − 4t + 2。
第 2 步，对 v 积分： s = t³ − 2t² + 2t + k。t = 0 时 s = 1，所以 k = 1。
s = t³ − 2t² + 2t + 1。
第 3 步，代入 t = 2：
v = 12 − 8 + 2 = 6 m/s。
s = 8 − 8 + 4 + 1 = 距 O 5 m。
用微分检查： ds/dt = 3t² − 4t + 2，正是 v。dv/dt = 6t − 4，正是 a。这条链正反两个方向都成立。
要留意的错误
常见的失误是加速度在变化时，还套用恒加速度公式。
错误答案： t = 2 时 a = 8，所以 v = u + at = 2 + 8 × 2 = 18 m/s。
学生取了某一时刻的加速度，并以为它一直不变。可是 a = 6t − 4 会随时间增大。
纠正方法是积分。真正的答案是 6 m/s，与 18 相差很远。快速判断：只要加速度含有 t，就不能用恒加速度公式。
自我检测
先在纸上做，再打开每个答案。
1. 粒子位置为 s = 2t³ − 9t² + 12t 米。求 t = 1 时的速度和加速度。
显示答案
v = ds/dt = 6t² − 18t + 12。t = 1 时：6 − 18 + 12 = 0。
a = dv/dt = 12t − 18。t = 1 时：12 − 18 = −6。
v = 0 m/s，a = −6 m/s²
2. 粒子加速度为 a = 4 − 2t m/s²，t = 0 时速度为 3 m/s。求 t = 3 时的速度。
显示答案
v = 4t − t² + c。t = 0 时 v = 3，所以 c = 3。
t = 3 时：v = 12 − 9 + 3 = 6 m/s。
3. 粒子速度为 v = 12t − 3t² m/s。当 t > 0 时，它何时瞬间静止？那时的加速度是多少？
显示答案
v = 3t(4 − t) = 0，t > 0 时 t = 4。
a = dv/dt = 12 − 6t。t = 4 时：a = 12 − 24 = −12 m/s²。
接下来学什么
这条链掌握后，可以试试面积与运动练习题，它把五课的内容混在一起。错题记录与重测队列适合用来记下你选错方向的题目，以便之后重测。
如果一道题分成三小问时，这条链仍然会缠在一起，我们的老师可以通过你自己的解题过程找出问题所在，详见一对一线上附加数学补习。