当两个 x 的函数相乘时，用乘积法则（product rule）：若 y = uv，则 dy/dx = u′v + uv′。每次对一个因子求导，再把结果相加。在某些题目里，先把括号展开更快，答案也一样。
这一课接在幂的求导之后，也是链式法则的铺垫。只要有一个因子是带指数的括号，这两者就都会用到。
乘积法则怎么一步步用？
- 给因子命名： 写出 u = … 和 v = …。
- 分别求导： 在旁边写出 u′ 和 v′。
- 代入 u′v + uv′。 每一部分都保留括号。
- 化简， 例如提取公共括号。
把 u、v、u′、v′ 写成一个小方块，结构一目了然，也避免搞混哪个因子是哪个。
例题
对 y = (2x + 1)(x² − 3x) 求导。
方法 A，乘积法则。 设 u = 2x + 1，v = x² − 3x。则 u′ = 2，v′ = 2x − 3。
dy/dx = u′v + uv′ = 2(x² − 3x) + (2x + 1)(2x − 3)。
第一部分是 2x² − 6x。第二部分是 4x² − 6x + 2x − 3 = 4x² − 4x − 3。
相加得 dy/dx = 6x² − 10x − 3。
方法 B，先展开。 y = 2x³ − 6x² + x² − 3x = 2x³ − 5x² − 3x。
则 dy/dx = 6x² − 10x − 3。两种方法一致，答案得到确认。
对简单的多项式括号，方法 B 更短。展开很麻烦时，乘积法则才派上用场。
要留意的错误
“各自求导再相乘”很有诱惑力，因为看起来整齐。
错误做法： dy/dx = u′ × v′ = 2 × (2x − 3) = 4x − 6
学生把两个导数相乘了。
和上面的答案比较：4x − 6 没有 x² 项，但原式展开后是三次式，它的导数必须含有 x²。这个快速的次数检查就能发现错误。正确结构是 u′v + uv′，两项相加。
怎样快速判断先展开还是用法则？
问自己一个问题：“展开后，每一项都是 x 的简单幂吗？“如果是，先展开，再用幂法则。
如果括号带有指数 3 以上、带根号，或含有 ln x 与 ex，展开要么太长，要么做不到，这时就用乘积法则。
自我检测
1. 对 y = (x − 2)(x² + 5) 求导，再用展开法验证。
显示答案
u = x − 2，v = x² + 5，所以 u′ = 1，v′ = 2x。
dy/dx = (x² + 5) + 2x(x − 2) = x² + 5 + 2x² − 4x = 3x² − 4x + 5。
验证：展开得 y = x³ − 2x² + 5x − 10，所以 dy/dx = 3x² − 4x + 5。✓
2. 对 y = (3x + 1)√x 求导，并化简成一个分数。
显示答案
u = 3x + 1，v = x1/2，所以 u′ = 3，v′ = ½x−1/2。
dy/dx = 3x1/2 + (3x + 1) × 1/(2√x) = 3√x + (3x + 1)/(2√x)。
通分到 2√x 上：(6x + 3x + 1)/(2√x) = (9x + 1)/(2√x)。
验证：y = 3x3/2 + x1/2 得 (9/2)x1/2 + (1/2)x−1/2，结果相同。✓
3. 求 y = (x + 1)(x² − 4) 在 x = 2 处的斜率。
显示答案
u = x + 1，v = x² − 4，u′ = 1，v′ = 2x。
dy/dx = (x² − 4) + (x + 1)(2x)。x = 2 时：0 + 3 × 4 = 12。
验证：y = x³ + x² − 4x − 4，所以 dy/dx = 3x² + 2x − 4 = 12 + 4 − 4 = 12。✓
接下来学什么
下一步是复合表达式的链式法则，它让你能处理 (2x − 1)³ 这样的因子。微积分形状与变化率探索器和免计算器演算训练器很适合用来练习。
在展开和用法则之间做选择，是一种判断力，我们在线上一对一附加数学补习中会直接训练这一点。