微积分形状与变化率探索器接受一个多项式，显示它的斜率函数、一个原函数、你选定点处的切线、驻点，以及区间上的带符号面积和几何面积。
计算是精确的，并有独立的数值检查来核对。
怎么使用？
- 在 f(x) 中输入多项式，例如 x^3 - 2x + 1。次数用 0 至 6 的整数。
- 输入切线位置 x =，即你想画切线的点。
- 输入区间从 a 和到 b。a 必须小于 b。
- 按计算。按重置回到示例。
怎么读结果？
结果先给出 f(x)、导数 f′(x) 和不带 + c 的原函数 F(x)。
切线部分给出该点的 f(x) 和斜率，然后写出直线 y = mx + c。驻点部分列出区间内 f′(x) = 0 的位置。
面积部分给出两个数。带符号面积是 F(b) − F(a)。几何面积在 f 变号处把区间分开，再把各段的绝对值相加。工具会注明变号的位置。
独立检查用辛普森法这种数值方法，并显示它与精确值的接近程度。图像显示曲线和切线。
示例演算
示例是 f(x) = x，切线在 x = 0.5，区间 −1 到 1。
- f′(x) = 1，所以在 0.5 处的切线斜率为 1，经过 (0.5, 0.5)。直线是 y = x。
- F(x) = 0.5x²。带符号面积 = F(1) − F(−1) = 0.5 − 0.5 = 0。
- 直线在 x = 0 处穿过 x 轴，所以在那里分开。两段各为 0.5，几何面积为 1。
两个面积来自同一条曲线，回答的却是不同的问题。带符号面积允许区域相互抵消，几何面积不会。
现在试试同一区间上的 f(x) = x^2 - 1，切线在 0.5。导数是 2x，所以在 0.5 处斜率为 1。
因为 f(0.5) = −0.75，切线是 y = x − 1.25。驻点在 x = 0，y = −1。曲线一直在 x 轴下方，所以带符号面积约为 −1.3333，几何面积是 4/3：大小相同，符号不同。
有哪些假设和限制？
- 只支持次数为 0 至 6 的整数次多项式。
- 数值检查是近似值，它与精确值的差会显示出来。
- 原函数省略了 + c。
- 区间必须 a 小于 b。
- 工具只处理你输入的函数，不会替文字题选择区间或方法。
哪些课程讲解了背后的道理？
- 对含分数次幂的多项式求导建立求导法则。
- 在适用时对乘积求导和对复合表达式使用链式法则是进一步的延伸。
- 由导数和一个点还原函数解释积分常数。
- 用正确的常数对幂函数积分讲幂函数的积分法则。
- 用正确的上下限计算定积分解释 F(b) − F(a)。
- 用求导检验原函数让两种运算互相验证。
- 我会求导，却不会建立最优化模型适用于公式没问题、设置却卡住的情况。
更大的主题是求导技巧和积分方法，综合练习见求导练习和积分练习。
想让老师检查你的推理，请看线上一对一附加数学补习。其他工具在学习工具目录。