怎么知道一道题需要链式法则？

看有没有函数套在另一个函数里：带指数的括号、表达式的平方根，或是 e 或 ln 后面跟着一个表达式。如果里面不只是 x，里面的部分也必须求导。

(2x − 1)³ 不能直接展开吗？

小的指数可以展开，但指数是 5 或 8 时就很慢，遇到根号更是无法展开。链式法则一步就能处理任何指数，所以即使能展开也值得学会。

设 u 为内层表达式，这样 y 就变成 u 的简单函数。链式法则说 dy/dx = dy/du × du/dx。先对外层关于 u 求导，再乘以内层的导数。

对复合函数（composite function），例如带指数的括号，使用链式法则（chain rule）：dy/dx = dy/du × du/dx。用话来说：对外层求导，内层保持不变，再乘以内层的导数。

这一课建立在幂的求导和乘积求导之上。当括号里是二次式时，二次结构探索器很有帮助。

熟练后，第 2 到 4 步会合成一行：“指数放前面，括号保持不变，指数减 1，再乘以括号的导数”。

对 (a) y = (3x² − 5)⁴ 和 (b) y = √(2x + 7) 求导，并求 (b) 在 x = 1 处的斜率。

(a) 设 u = 3x² − 5，则 y = u⁴。于是 dy/du = 4u³，du/dx = 6x。

dy/dx = 4u³ × 6x = 24x(3x² − 5)³。

(b) 改写成 y = (2x + 7)^1/2。设 u = 2x + 7，则 y = u^1/2。

于是 dy/du = ½u^−1/2，du/dx = 2。

dy/dx = ½(2x + 7)^−1/2 × 2 = (2x + 7)^−1/2 = 1/√(2x + 7)。

x = 1 时：2x + 7 = 9，√9 = 3，所以斜率是 1/3。

幂法则太熟悉了，很容易对括号用一次就停下来。

错误做法： y = (3x² − 5)⁴ → dy/dx = 4(3x² − 5)³

学生只对外层求导。

漏掉的因子是 6x，也就是内层的导数。快速判断：原来的括号里有 x²，所以导数里也必须带有 x 的某个幂。正确答案是 24x(3x² − 5)³。

如果内层是一次式，例如 2x + 7，漏掉的因子只是一个数。它照样被漏掉了，没有它答案还是错的。

1. 对 y = (5x − 2)³ 求导，并求 x = 1 处的斜率。

显示答案

dy/dx = 3(5x − 2)² × 5 = 15(5x − 2)²。

x = 1 时：15 × 3² = 15 × 9 = 135。

2. 对 y = 1/(x² + 1)² 求导，并求 x = 1 处的斜率。

显示答案

改写：y = (x² + 1)⁻²。则 dy/dx = −2(x² + 1)⁻³ × 2x = −4x/(x² + 1)³。

x = 1 时：−4/2³ = −4/8 = −1/2。

3. 对 y = x(2x − 1)³ 求导，把答案因式分解，并求 x = 1 处的斜率。

显示答案

这题同时需要乘积法则和链式法则。设 u = x，v = (2x − 1)³，则 u′ = 1，v′ = 3(2x − 1)² × 2 = 6(2x − 1)²。

dy/dx = (2x − 1)³ + 6x(2x − 1)² = (2x − 1)²[(2x − 1) + 6x] = (2x − 1)²(8x − 1)。

x = 1 时：1² × 7 = 7。

下一课加入 ln 与指数形式，几乎每道题都会用到链式法则。之后，用局部斜率检验导数能帮你检验像第 3 题这样的答案。免计算器演算训练器则支持运算练习。

这类题把两三条法则结合在一起，老师看你的第一行，就能知道你选了哪条法则以及原因。这正是线上一对一附加数学补习能给你的关注。