这些题练习微分技巧中的技能：幂、乘积、链式法则、ln 与 ex 形式，以及检验结果。题目由易到难，每题都有完整解答。请在 Cambridge 官网的 0606 大纲页面核对哪些函数在范围内。
使用方法： 在第一行写出你打算用的法则，在纸上做题，然后再打开答案。评分时看方法，而不只是最终的式子。用错题记录与重测清单记下做错的题，隔一天再做一次。
题目
1. 对 y = 5x⁴ − 3x² + 7 求导。
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逐项：5x⁴ 得 20x³，−3x² 得 −6x，常数 7 得 0。
dy/dx = 20x³ − 6x
2. 对 y = 6√x − 4/x 求导。
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改写：y = 6x1/2 − 4x−1。
6x1/2 得 3x−1/2。−4x−1 得 +4x−2。
dy/dx = 3/√x + 4/x²
3. 对 y = (x + 4)(2x − 3) 求导，分别用乘积法则和展开法。
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乘积法则：u′ = 1，v′ = 2，所以 dy/dx = (2x − 3) + 2(x + 4) = 4x + 5。
展开：y = 2x² + 5x − 12，所以 dy/dx = 4x + 5。✓
dy/dx = 4x + 5
4. 对 y = (3x − 1)⁵ 求导，并求 x = 1 处的斜率。
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dy/dx = 5(3x − 1)⁴ × 3 = 15(3x − 1)⁴。
x = 1 时：15 × 2⁴ = 15 × 16 = 240。
5. 求 y = x³ + 2√x − 1/x 在 x = 4 处的斜率，答案用精确分数表示。
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改写：y = x³ + 2x1/2 − x−1。则 dy/dx = 3x² + x−1/2 + x−2。
x = 4 时：3 × 16 = 48，1/√4 = 1/2，再加 1/16。
48 + 1/2 + 1/16 = 48 + 8/16 + 1/16 = 48 9/16 = 777/16。
6. 对 y = √(x² + 9) 求导，并求 x = 4 处的斜率。
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y = (x² + 9)1/2，所以 dy/dx = ½(x² + 9)−1/2 × 2x = x/√(x² + 9)。
x = 4 时：x² + 9 = 25，√25 = 5，所以斜率是 4/5。
7. 对 y = x²(x − 2)³ 求导并因式分解。求 x = 3 处的斜率。
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设 u = x²，v = (x − 2)³。则 u′ = 2x，v′ = 3(x − 2)²。
dy/dx = 2x(x − 2)³ + 3x²(x − 2)² = x(x − 2)²[2(x − 2) + 3x] = x(x − 2)²(5x − 4)。
x = 3 时：3 × 1 × 11 = 33。直接验证：6 × 1 + 27 × 1 = 33。✓
8. 对 y = e4x − 1 求导，并求 x = ¼ 处的斜率。
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内层是 4x − 1，导数为 4，所以 dy/dx = 4e4x − 1。
x = ¼ 时：4x − 1 = 0，e⁰ = 1，所以斜率是 4。
9. 对 y = ln(5x² + 1) 求导，并求 x = 1 处的斜率。
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内层的导数是 10x，所以 dy/dx = 10x/(5x² + 1)。
x = 1 时：10/6 = 5/3。
10. 对 y = x ln x 求导，并求 x = e 处的斜率。
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设 u = x，v = ln x，则 u′ = 1，v′ = 1/x。
dy/dx = ln x + x × (1/x) = ln x + 1。
x = e 时：ln e = 1，所以斜率是 2。
11. 对 y = xe−2x 求导。求斜率为零时的 x 值。
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设 u = x，v = e−2x，则 u′ = 1，v′ = −2e−2x。
dy/dx = e−2x − 2xe−2x = (1 − 2x)e−2x。
因子 e−2x 永远不为零，所以令 1 − 2x = 0，得 x = ½。
12. 一位学生说 y = (x² + 1)³ 在 x = 1 处的斜率是 12，用的是 dy/dx = 3(x² + 1)²。用 f(1.01) ≈ 8.24363 和 f(0.99) ≈ 7.76357 来检验。这位学生对吗？
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估计：(8.24363 − 7.76357) / 0.02 = 0.48006 / 0.02 ≈ 24.0。
学生错了，因为 12 与 24 不吻合。他漏了内层导数 2x：dy/dx = 3(x² + 1)² × 2x = 6x(x² + 1)²。
x = 1 时：6 × 4 = 24，与估计吻合。
做完之后怎样复盘？
不要只数对了几题。把做错的题按错误类型分类：是指数出错、漏了内层导数，还是乘积结构写错。同一类型重复出现两次以上，就说明要回到对应的课重新学。
隔一天后，只重做做错的题，并且这次在第一行先写出法则的名字。如果仍然出错，再把过程拍下来，留给老师看。
如果你做错了
| 问题出在哪里 | 题号 | 回到 |
|---|---|---|
| 幂法则、常数或指数运算 | 1、2、5 | 对带分数指数的多项式求导 |
| 把 u′ 和 v′ 相乘，或搞混乘积的结构 | 3、7、10、11 | 在适用时对乘积求导 |
| 漏掉内层导数 | 4、6、7、8、9 | 对复合表达式使用链式法则 |
| 写错 ln 或 ex 的导数 | 8、9、10、11 | 对对数与指数形式求导 |
| 无法判断答案对不对 | 12 | 用局部斜率检验导数 |
微积分形状与变化率探索器和免计算器演算训练器都可以配合这套练习使用。
如果同一种模式在好几道题里重复出现，原因通常是第一行里的某个习惯，有老师在旁边看，很快就能纠正。我们的线上一对一附加数学补习就是为这样的检查而设计的。