复合函数（composite function）是把一个函数用在另一个函数的结果上。在 fg(x) 这个写法中，先是 g 起作用，f 再作用于它的输出。附加数学题会要求你把 fg(x) 或 gf(x) 写成单个表达式、在某个值处求值，或解 fg(x) = 49 这样的方程。
这一课接在由受限定义域求值域之后，因为内层函数的输出必须是外层函数能接受的值。
怎样构造复合函数？
最稳妥的方法是把内层函数当作一个括号，放到 x 的位置上。
- 确定内层函数。 在 fg(x) 中它是 g，也就是紧挨着 x 的那个。
- 把外层函数写出来，在 x 的位置留空，例如 f( ) = 3( ) − 2。
- 把整个 g(x) 放进空位，并加上括号。
- 展开并化简。
- 用数字检验。 选一个简单的 x，一步一步算，再与结果比较。
例题
已知 f(x) = 3x − 2，g(x) = x² + 1，求 fg(x) 和 gf(x)，再解 fg(x) = 49。
fg(x)，先 g： fg(x) = f(x² + 1) = 3(x² + 1) − 2 = 3x² + 3 − 2 = 3x² + 1。
gf(x)，先 f： gf(x) = g(3x − 2) = (3x − 2)² + 1 = 9x² − 12x + 4 + 1 = 9x² − 12x + 5。
用 x = 2 检验。 对 fg：g(2) = 5，再 f(5) = 13，而 3(4) + 1 = 13。对 gf：f(2) = 4，再 g(4) = 17，而 9(4) − 24 + 5 = 17。两者吻合。
解 fg(x) = 49： 3x² + 1 = 49，所以 3x² = 48，x² = 16，x = 4 或 x = −4。
检验 x = −4：g(−4) = 17，再 f(17) = 51 − 2 = 49。成立。
要留意的错误
常见的失误是按字母书写的顺序依次应用函数，结果把 fg(x) 做成先 g 再 f 的反向。
错误做法： fg(x) = g(f(x)) = (3x − 2)² + 1 = 9x² − 12x + 5。
这其实是 gf(x)。学生先用了 f，这对 fg 来说顺序反了。
纠正方法是把 fg(x) 读成 f(g(x))：挨着 x 的函数先起作用。用 x = 2 做数字检验会马上暴露这个错误，因为 fg(2) 是 13，不是 17。
自我检测
试做下面的题，再打开每个答案。
1. f(x) = x + 4，g(x) = 2x。求 fg(x) 和 gf(x)。
显示答案
fg(x) = f(2x) = 2x + 4。gf(x) = g(x + 4) = 2(x + 4) = 2x + 8。所以 fg(x) = 2x + 4，gf(x) = 2x + 8。两者不同。
2. f(x) = 1/x（x ≠ 0），g(x) = x − 3。求 fg(x) 和 gf(x)，并写出 fg 要排除的值。
显示答案
fg(x) = f(x − 3) = 1/(x − 3)，x ≠ 3。gf(x) = g(1/x) = 1/x − 3，x ≠ 0。
3. f(x) = 2x − 1，g(x) = x²。解 fg(x) = 17。
显示答案
fg(x) = f(x²) = 2x² − 1。于是 2x² − 1 = 17，x² = 9，x = 3 或 x = −3。检验 x = 3：g(3) = 9，f(9) = 17。
接下来学什么
复合函数是反函数的基础，因为 f⁻¹ 会把 f 还原。继续学习求反函数并检查其定义域。复合函数与反函数探索器可以并排显示你选的任何输入的 fg 与 gf，免计算器演算训练器则帮助你检查展开的括号。
如果记号让你速度变慢，老师可以在一对一线上附加数学补习中检查你自己的解答。