有理式的有效输入是除了使分母（denominator）等于零的值之外的所有 x。在附加数学中，当题目给出 f(x) = (3x + 1)/(x² − x − 6) 这类函数并要求写出定义域，或要你解释某个值为何不允许时，就会用到这项技能。
这是函数与限制条件的第一项技能，之后在复合函数和反函数中还会再出现，因为前一步的限制条件会带到下一步。
怎样找出被排除的值？
分母为零时分数没有定义。所以方法很短：令分母等于零，解出来，把这些解排除。
- 单独写出分母。
- 令它等于零并求解。 如果是二次式就先分解因式。
- 把每个解写成 x ≠ a。 不要把分子的值列进去。
- 用文字或符号写出定义域，例如“除 x = 3 和 x = −2 外的所有实数 x”。
如果分母永远不会为零，例如 x² + 9，那么所有实数都有效。要把这一点写出来，不要留空。
例题
写出 f(x) = (3x + 1)/(x² − x − 6) 的最大可能定义域。
第 1 步，分母： x² − x − 6。
第 2 步，令其为零并分解： x² − x − 6 = 0 得 (x − 3)(x + 2) = 0。
第 3 步，求解： x = 3 或 x = −2。
第 4 步，检验两个值： x = 3 时，9 − 3 − 6 = 0。x = −2 时，4 + 2 − 6 = 0。两个值都使分母为零。
答案： 定义域是所有实数 x，但 x ≠ 3 且 x ≠ −2。
注意分子 3x + 1 完全没有起作用。它在 x = −1/3 时为零，而这是一个完全有效的输入。
要留意的错误
常见的失误是先化简，再从化简后的形式读限制条件。以 g(x) = (x² − 4)/(x − 2) 为例。
错误做法： g(x) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2，所以定义域是所有实数。
化简后的 x + 2 接受 x = 2，但原来的 g 不接受。x = 2 时，原分母为 0。
纠正方法是从原分母读限制条件：x − 2 = 0 得 x ≠ 2。这个函数除了那一个被排除的输入外，处处等于 x + 2。养成习惯：约分之前先写下限制条件。
自我检测
写出每一题的最大可能定义域，再打开答案。
1. f(x) = 5/(2x − 7)
显示答案
2x − 7 = 0 得 x = 7/2。定义域：所有实数 x，但 x ≠ 7/2（即 x ≠ 3.5）。
2. h(x) = (x + 1)/(x² − 4x)
显示答案
x² − 4x = x(x − 4) = 0 得 x = 0 或 x = 4。分子 x + 1 不用管。定义域：所有实数 x，但 x ≠ 0 且 x ≠ 4。
3. k(x) = x/(x² + 9)。有没有限制？
显示答案
x² 永远不为负，所以 x² + 9 至少是 9，永远不为零。没有限制：定义域是所有实数 x。
接下来学什么
被排除的值变得熟练后，继续学习由限制定义域求值域。准备好综合运用时，可以做函数与限制条件练习卷。复合函数与反函数探索器可以让你试输入值，看表达式在哪里失去意义。
有些学生每一步都会做，却在限制条件要写进较长的解答时丢分。这正是我们的老师在一对一线上附加数学补习中会留意的模式。