函数的反函数（inverse function）会把它还原：把 f 的每个输出带回产生它的输入。求 f⁻¹(x) 时，先写 y = f(x)，变形使 x 成为主项，再把变量改名。要完整作答，还必须写出 f⁻¹ 的定义域。
这一课建立在复合函数之上，因为 f⁻¹ 正是使 f⁻¹f(x) = x 成立的函数。它也引出下一个问题：什么时候反函数不存在。
怎样求反函数？
- 写出 y = f(x)。
- 变形使 x 成为主项。 把所有含 x 的项放在一边；如果 x 出现不止一次，就提取公因式。
- 把 y 换成 x，写成 f⁻¹(x)。
- 求 f 的值域。 它就是 f⁻¹ 的定义域。
- 用数字检验： f⁻¹(f(a)) 应该得回 a。
例题
函数 f 定义为 f(x) = (2x + 3)/(x − 1)，x ≠ 1。求 f⁻¹(x) 并写出它的定义域。
第 1 步： y = (2x + 3)/(x − 1)。
第 2 步，去分母： y(x − 1) = 2x + 3，所以 yx − y = 2x + 3。
第 3 步，合并含 x 的项： yx − 2x = y + 3，所以 x(y − 2) = y + 3。
第 4 步，使 x 为主项： x = (y + 3)/(y − 2)。
第 5 步，改名： f⁻¹(x) = (x + 3)/(x − 2)。
定义域： 写成 f(x) = (2(x − 1) + 5)/(x − 1) = 2 + 5/(x − 1)。5/(x − 1) 永远不为零，所以 f(x) 永远不等于 2。f 的值域是除 2 以外的所有实数，所以 f⁻¹ 的定义域是 x ≠ 2。这与 f⁻¹ 的分母在 x = 2 时为零相吻合。
检验： f(3) = 9/2 = 4.5。然后 f⁻¹(4.5) = 7.5/2.5 = 3。得回了 3。
要留意的错误
常见的失误是把 f⁻¹ 当成 f 的倒数。
错误答案： f⁻¹(x) = 1/f(x) = (x − 1)/(2x + 3)。
来试一下：f(3) = 4.5，所以真正的反函数必须把 4.5 带回 3。这个规则给出 (4.5 − 1)/(2 × 4.5 + 3) = 3.5/12 ≈ 0.29，不是 3。
纠正方法是记住：−1 是“反函数”的标记，不是指数。反函数来自把 x 解出来，而不是把分数颠倒。像例题那样做一次数字检验，就能很快暴露这个混淆。
自我检测
求 f⁻¹(x)，需要时写出定义域，再打开答案。
1. f(x) = 3x − 5
显示答案
y = 3x − 5，所以 3x = y + 5，x = (y + 5)/3。f⁻¹(x) = (x + 5)/3，对所有实数 x 都有定义。
2. f(x) = x² + 1，x ≥ 0
显示答案
y = x² + 1 得 x² = y − 1，因为 x ≥ 0，取正根：x = √(y − 1)。f⁻¹(x) = √(x − 1)。f 的值域是 f(x) ≥ 1，所以 f⁻¹ 的定义域是 x ≥ 1。
3. f(x) = 5/(x + 2)，x ≠ −2
显示答案
y(x + 2) = 5，所以 x + 2 = 5/y，x = 5/y − 2。f⁻¹(x) = 5/x − 2，即 (5 − 2x)/x。f 的输出永远不为 0，所以定义域是 x ≠ 0。检验：f(1) = 5/3，f⁻¹(5/3) = 3 − 2 = 1。
接下来学什么
下一课自然是解释没有无限制反函数的多对一映射，它说明定义域为什么更加重要。在函数与限制条件练习卷中练习整个模块，并用复合函数与反函数探索器看 f 和 f⁻¹ 的图像如何关于 y = x 对称。
如果时间都花在变形上，老师可以在一对一线上附加数学补习中检查你自己的解答。