这套练习共有十道原创题，涵盖代数、对数、三角和微积分，由易到难排列，不标注分数。把任何课题视为考试范围之前，请先在 Cambridge 页面查看你考试年份的大纲。
请用纸笔，写出每一步，尝试之后再打开答案。原创混合练习生成器可以组合出更长的练习时段，不用计算器的书写训练器则帮助你练习精确运算。
题目
1. 解 3x² − 12x = 0。
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因式分解：3x(x − 4) = 0。所以 x = 0 或 x = 4。检验 x = 4：3(16) − 48 = 0。
常见的失误是两边同除以 x，结果丢了 x = 0 这个根。
2. 把 x² + 6x + 2 写成 (x + p)² + q 的形式，并写出这个式子的最小值。
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6 的一半是 3，所以 (x + 3)² = x² + 6x + 9。于是 x² + 6x + 2 = (x + 3)² − 9 + 2 = (x + 3)² − 7。
平方永远不为负，所以最小值是 −7，在 x = −3 时取得。
3. 求 k 的值，使 x² + kx + 9 = 0 有相等的根。
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相等的根要求 b² − 4ac = 0。这里 k² − 4(1)(9) = k² − 36 = 0，所以 k = 6 或 k = −6。
检验 k = 6：x² + 6x + 9 = (x + 3)²，只有一个重根。
4. 求 f(x) = x³ − 2x² + x − 5 除以 (x − 2) 的余数。
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根据余式定理（remainder theorem），余数是 f(2) = 8 − 8 + 2 − 5 = −3。
5. 解 3x+1 = 20，x 取 3 位有效数字。
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两边取对数：(x + 1) lg 3 = lg 20，所以 x + 1 = 1.30103 / 0.47712 = 2.7268。
于是 x = 1.7268，即 x = 1.73。检验：32.727 约等于 20。
6. 求 y = x³ − 3x² + 2 的驻点，并判断每个是极大点还是极小点。
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dy/dx = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0，所以 x = 0 或 x = 2。
x = 0 时 y = 2。x = 2 时 y = 8 − 12 + 2 = −2。
二阶导数是 6x − 6。在 x = 0 处为 −6，所以 (0, 2) 是极大点。在 x = 2 处为 6，所以 (2, −2) 是极小点。
7. 求 (2x + 1) 从 x = 1 到 x = 3 的定积分。
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一个原函数是 x² + x。x = 3 时为 12，x = 1 时为 2。所以值是 12 − 2 = 10。
检验：该区域是一个梯形，平行边为 3 和 7，宽为 2，面积 (3 + 7)/2 × 2 = 10。
8. 求 (1 + 2x)⁵ 展开式中 x² 的系数。
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x² 项是 C(5, 2) × (2x)² = 10 × 4x² = 40x²。系数是 40。
9. 解 tan x = 2，其中 0° ≤ x ≤ 360°，答案取 1 位小数。
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主值是 tan⁻¹ 2 = 63.4°。正切每 180° 重复一次，所以第二个解是 63.4° + 180° = 243.4°。
x = 63.4° 或 x = 243.4°
10. 某曲线的斜率函数为 dy/dx = 4x − 6，并通过点 (2, 5)。求曲线方程，再求 x = 2 处的切线方程。
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积分：y = 2x² − 6x + c。代入 (2, 5)：5 = 8 − 12 + c，所以 c = 9。曲线是 y = 2x² − 6x + 9。
x = 2 时斜率是 4(2) − 6 = 2，y = 5。切线是 y − 5 = 2(x − 2)，即 y = 2x + 1。
如果你做错了
| 哪里出了问题 | 去看 |
|---|---|
| 丢了根，或因式分解错误（第 1 题） | 代数方程与不等式 |
| 配方或判别式（第 2、3 题） | 二次式结构与判别式 |
| 余式定理（第 4 题） | 多项式的因式与余式 |
| 对数与指数（第 5 题） | 指数与对数推理 |
| 驻点，或选择检验方法（第 6 题） | 驻点与最优化 |
| 积分与求 c（第 7、10 题） | 积分方法 |
| 二项式系数（第 8 题） | 二项式展开 |
| 漏了第二个解（第 9 题） | 三角方程与图像 |
| 切线方程（第 10 题） | 切线、法线与变化率 |
想更全面地了解如何选择方法，请阅读关于建立最优化模型和在三角区间中保留每个解的帮助页面。用复习页记录你的错误。
用好这套题
先评估方法，再评估最终数值。靠猜测得到的正确答案，应该当作缺口来处理。
如果某个课题不断出现在你的错题里，请回到学习指南。当陌生的题目让你在第一行之前就卡住，一对一线上 Additional Mathematics 补习让你在老师身边练习如何开始。