为什么要完成平方？

它把二次式改写成 a(x + p)² + q，直接显示转折点 (−p, q) 以及最大值或最小值 q。它也能精确地解方程，并且是二次公式的来源。涉及值域、最大值或图像平移的题目，通常都期待这种形式。

如果 x² 的系数不能整除 x 的系数怎么办？

只对 x² 和 x 两项提出系数，让分数自然出现。对 3x² + 4x，写成 3(x² + 4/3 x)。4/3 的一半是 2/3，括号变成 (x + 2/3)² − 4/9。全程保持分数精确，最后再把剩下的项乘以 3。

把 x = 0 或 x = 1 这类简单的值分别代入原式和你的完成平方形式，两个结果必须相同。如果不同，最可能的原因是多出的常数没有乘上系数，或括号里的符号写错。

对 ax² + bx + c 完成平方（completing the square）时，先从含 x 的项中提出 a，在括号内加上并减去新系数一半的平方，再把被减去的那一项乘回 a。结果是 a(x + p)² + q。

这是二次函数结构与判别式最先学的技能，之后在转折点、圆和积分中还会再出现。

目的是只用含 x 的项造出一个完全平方。a = 1 时可以直接做。a ≠ 1 时，先从 x² 和 x 两项中提出 a，让括号再次以 x² 开头。

把 2x² − 12x + 7 写成 a(x + p)² + q 的形式，并写出最小值。

第 1 步，从含 x 的项提出 a： 2x² − 12x + 7 = 2(x² − 6x) + 7。

第 2 步，−6 的一半是 −3，(−3)² = 9。

第 3 步，在括号内加减 9： 2(x² − 6x + 9 − 9) + 7。

第 4 步，完全平方： 2[(x − 3)² − 9] + 7。

第 5 步，把 −9 乘以 2： 2(x − 3)² − 18 + 7 = 2(x − 3)² − 11。

最小值是 −11，在 x = 3 时取得，因为 2(x − 3)² 不会是负数。

检查： x = 0 时，原式是 7，新形式是 2 × 9 − 11 = 7。x = 1 时，原式是 2 − 12 + 7 = −3，新形式是 2 × 4 − 11 = −3。两者一致。

最常见的失误是忘了把 −9 乘以 2。

错误答案： 2(x − 3)² − 9 + 7 = 2(x − 3)² − 2

学生保留了括号前的 2，却忘了 −9 也在 2[ ] 里面。

用 x = 0 检验：错误形式得 2 × 9 − 2 = 16，但原式是 7。纠正的办法是把外层括号明确写出来，2[(x − 3)² − 9]，先把 2 分配给两项，再与 c 合并。

每题都用代入法检查。

1. 完成平方：x² + 8x + 3。

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8 的一半是 4，4² = 16。所以 x² + 8x + 3 = (x + 4)² − 16 + 3 = (x + 4)² − 13。检查 x = 0：16 − 13 = 3。

2. 把 3x² + 12x − 5 写成 a(x + p)² + q。

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3(x² + 4x) − 5 = 3[(x + 2)² − 4] − 5 = 3(x + 2)² − 12 − 5 = 3(x + 2)² − 17。检查 x = 0：12 − 17 = −5。

3. 把 5 − 4x − x² 写成完成平方形式，并写出它的最大值。

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写成 −x² − 4x + 5 = −(x² + 4x) + 5 = −[(x + 2)² − 4] + 5 = −(x + 2)² + 9。最大值是 9，在 x = −2 时取得。检查 x = 1：5 − 4 − 1 = 0，而 −9 + 9 = 0。

接着看同一种形式如何读出最小值：把转折点与最小值联系起来，以及判别式如何说明根的情况：用判别式判断交点情况。二次函数结构探索器可以让你改变 a、b、c，看完成平方形式随之更新；不用计算器的步骤训练器适合练习保持分数精确。

如果方法在课堂上很清楚，到了限时的试卷上却出错，这正是我们的老师在线上一对一附加数学补习中会留意的模式。