要判断直线与曲线如何相遇，先令两者的方程相等，整理成二次方程等于零，再看 b² − 4ac（判别式，discriminant）。为正表示有两个交点，为零表示直线与曲线相切，为负表示没有交点。
这项技能属于二次函数结构与判别式，在解联立方程和含参数的题目时会再次用到。
为什么判别式能决定交点个数？
直线与曲线相遇处的 x 坐标，就是“直线 = 曲线”的解，这是一个关于 x 的二次方程。二次公式里含有 b² − 4ac 的平方根，所以这个数的正负决定平方根是否存在，以及两个值是否合并成一个。
要分类，并不需要真的求出交点。这在只问“相交几次”或“k 取何值时”的题目中能节省时间。
怎样列式？
- 令直线与曲线的方程相等。
- 把所有项移到一边，使方程成为 ax² + bx + c = 0。
- 写出 a、b、c，连同符号，包括 k 这样的字母。
- 写出 b² − 4ac 并化简。
- 套用规则： 大于 0 有两个交点，等于 0 相切，小于 0 没有交点。
例题
曲线是 y = x² − 4x + 5，直线是 y = 2x + k。求 k 取何值时直线与曲线有两个不同的交点；并求相切时的切点。
第 1 步，令相等： x² − 4x + 5 = 2x + k。
第 2 步，整理： x² − 6x + (5 − k) = 0。
第 3 步，确定系数： a = 1，b = −6，c = 5 − k。
第 4 步，判别式： (−6)² − 4(1)(5 − k) = 36 − 20 + 4k = 16 + 4k。
第 5 步，套用规则： 有两个交点需 16 + 4k > 0，即 k > −4。k = −4 时相切。k < −4 时没有交点。
k = −4 时的切点： x² − 6x + 9 = 0，即 (x − 3)² = 0，x = 3。于是 y = 2(3) − 4 = 2。
检查： 曲线在 x = 3 时为 9 − 12 + 5 = 2。两者一致，所以切点是 (3, 2)。
要提防的错误
常见的失误是在移项之前就读取 a、b、c。
错误做法： x² − 4x + 5 = 2x + k，所以 a = 1，b = −4，c = 5 − k，得 16 − 4(5 − k) = 4k − 4。k = 1 时相切。
右边的 2x 没有和 −4x 合并，所以 b 是错的。
检验这个答案：k = 1 时方程是 x² − 6x + 4 = 0，判别式是 36 − 16 = 20，不是 0。纠正的办法是先完全化简成“= 0”，再读取任何系数。
自我检测
1. 直线 y = x − 2 与曲线 y = x² + 3x + 1 相交吗？
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x² + 3x + 1 = x − 2 得 x² + 2x + 3 = 0。判别式是 2² − 4(1)(3) = 4 − 12 = −8，为负，所以直线与曲线不相交。
2. y = 3x² − 2x − 1 与 x 轴相交几次？
显示答案
令 y = 0。判别式是 (−2)² − 4(3)(−1) = 4 + 12 = 16，为正。所以相交两次。检查：根是 (2 ± 4)/6 = 1 和 −1/3。
3. 直线 y = 2x + k 与曲线 y = x² − 2x + 6 相遇。求直线与曲线相切时的 k，以及切点。
显示答案
x² − 2x + 6 = 2x + k 得 x² − 4x + (6 − k) = 0。判别式是 16 − 4(6 − k) = 4k − 8。相切时 k = 2。此时 x² − 4x + 4 = 0，x = 2，y = 2(2) + 2 = 6。切点是 (2, 6)。检查：曲线在 x = 2 时为 4 − 4 + 6 = 6。
接下来学什么
接着做解重根的参数条件，把同样的思路用在含字母的方程上。二次函数结构探索器会同时显示判别式和图像，不用计算器的步骤训练器则帮你保持运算精确。
如果丢分的地方是列式这一步，我们的老师可以在线上一对一附加数学补习中和你一起处理你自己的题目。