分解 x² + bx + c 时，找两个整数，乘积是 c，和是 b，然后写成 (x + p)(x + q)。把答案展开，必须得回原来的二次式。这是解二次方程和化简代数分式的标准途径。
为什么和与积的方法有效？
展开 (x + p)(x + q)，得 x² + px + qx + pq，也就是 x² + (p + q)x + pq。所以中间的系数 b 是 p + q 的和，常数 c 是 pq 的积。
因式分解就是把同一个展开反过来读。你要找的是同时满足两个条件的那一对 p 和 q。
分解的步骤
- 先提出任何公因数。
- 写出 b 和 c， 包括符号。
- 列出 c 的因数对， 包括使乘积正确的符号。
- 选出和等于 b 的那一对。
- 写成 (x + p)(x + q)， 并展开检查。
例题
分解 x² + 2x − 15
第一步，公因数： 除了 1 没有别的。
第二步，b 和 c： b = +2，c = −15。
第三步，乘积为 −15 的因数对：
| 数对 | 和 |
|---|---|
| 1 和 −15 | −14 |
| −1 和 15 | 14 |
| 3 和 −5 | −2 |
| −3 和 5 | 2 |
第四步，选择： −3 和 5 的和是 2。
第五步，答案：
(x − 3)(x + 5)
检查： 展开。x² + 5x − 3x − 15 = x² + 2x − 15。与原式相符。
要留意的错误
常见的失误是忽略 b 的符号，用了乘积正确但和错误的那一对。
错误答案： x² − 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
学生发现 3 × 4 = 12 就停下了。但 (x + 3)(x + 4) 展开是 x² + 7x + 12，所以中间项的符号错了。
改正的方法是连符号一起检查和。因为 c = +12 是正数，两个数符号相同；b = −7 是负数，所以两个数都是负数。
−3 和 −4 的乘积是 12，和是 −7。所以答案是 (x − 3)(x − 4)。
一定要把答案展开一次。只需要几秒钟，每次都能抓到这种错误。
首项系数不是 1 的情形
当 x² 的系数不是 1 时，方法需要稍作调整。对 2x² + 7x + 3，把 a 和 c 相乘得 6，找乘积为 6、和为 7 的两个数（是 1 和 6），然后拆开中间项：2x² + x + 6x + 3。
分组成 x(2x + 1) + 3(2x + 1)，得 (2x + 1)(x + 3)。展开来检查：2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3。
自我检测
不用计算器做下面的题，然后打开答案。
1. 分解 x² + 7x + 10
显示答案
两个符号都是正的。乘积为 10 的数对：1 和 10（和 11），2 和 5（和 7）。
(x + 2)(x + 5)
2. 分解 x² − 2x − 24
显示答案
c 是负数，所以两个数符号不同。b 是 −2，所以绝对值较大的数是负数。4 和 6 的差是 2，所以这一对是 −6 和 +4。
(x − 6)(x + 4)
检查：x² + 4x − 6x − 24 = x² − 2x − 24。
3. 分解 x² − 49
显示答案
写成 x² + 0x − 49。−7 和 7 的乘积是 −49，和是 0。
(x − 7)(x + 7)
这叫作平方差（difference of two squares）。
接下来学什么
用二次式结构探索器，可以对照根和图像来检验你选的因数对。然后继续学化简代数分式并写出除外值，这些因式会在那里发挥作用。无计算器运算训练器适合用来检查因数对里的数字运算。
学生常常在干净的例子上懂了这个方法，却在符号复杂的题目上失手。这时老师可以在一对一线上数学补习中帮上忙。