代数结构：原创综合练习与解析

a 项：5a − 2a = 3a。b 项：3b + 4b = 7b。

3a + 7b

x²y 项：4 − 1 = 3，得 3x²y。xy² 项：3 − 5 = −2，得 −2xy²。这两类项不是同类项，所以保持分开。

3x²y − 2xy²

用 x = 2、y = 1 检查：原式是 16 + 6 − 4 − 10 = 8，而 3(4) − 2(2) = 8。

−3 × 2x = −6x，−3 × (−5) = +15。再加 4：−6x + 15 + 4。

−6x + 19

用 x = 1 检查：原式是 −3(−3) + 4 = 13，而 −6 + 19 = 13。

乘积：x²、−7x、+4x、−28。中间项：−7x + 4x = −3x。

x² − 3x − 28

用 x = 2 检查：(6)(−5) = −30，而 4 − 6 − 28 = −30。

14 和 21 的最大公因数是 7。两项都含 m 和 n，最低指数各为 1。公因式是 7mn。

14m²n ÷ 7mn = 2m，21mn² ÷ 7mn = 3n。

7mn(2m − 3n)

8 和 12 的最大公因数是 4。提出 −4：−8y ÷ (−4) = 2y，−12 ÷ (−4) = +3。

−4(2y + 3)

检查：−4 × 2y = −8y，−4 × 3 = −12。

c 是正数，所以两个数符号相同；b 是负数，所以两个数都是负数。乘积为 15 的数对：−1 和 −15（和 −16），−3 和 −5（和 −8）。

(x − 3)(x − 5)

检查：x² − 5x − 3x + 15 = x² − 8x + 15。

c 是负数，所以符号不同；b 是正数，所以绝对值较大的数是正数。乘积为 28 的数对：1 和 28，2 和 14，4 和 7。差为 3 的是 4 和 7，所以这一对是 −4 和 +7。

(x − 4)(x + 7)

检查：x² + 7x − 4x − 28 = x² + 3x − 28。

(2x − 3)² 表示 (2x − 3)(2x − 3)。乘积：4x²、−6x、−6x、+9。

4x² − 12x + 9

用 x = 2 检查：(1)² = 1，而 16 − 24 + 9 = 1。注意 4x² − 9 会得 7，所以中间项很重要。

分子：(x − 4)(x + 4)。分母：x(x − 4)，在 x = 0 或 x = 4 时为零。约去 (x − 4)。

(x + 4)/x，其中 x ≠ 0 且 x ≠ 4

用 x = 8 检查：原式是 48/32 = 3/2，而 12/8 = 3/2。

分子：乘积为 −15、和为 2 的数对是 −3 和 5，所以是 (x − 3)(x + 5)。分母：(x − 3)(x + 3)，在 x = 3 或 x = −3 时为零。约去 (x − 3)。

(x + 5)/(x + 3)，其中 x ≠ 3 且 x ≠ −3

用 x = 1 检查：原式是 −12/−8 = 3/2，而 6/4 = 3/2。用 x = 0：−15/−9 = 5/3，而 5/3。

第一部分：(x + 3)(x − 3) = x² − 9。第二部分：(x − 1)² = x² − 2x + 1。第二个括号外面的负号会改变括号里每一项的符号：x² − 9 − x² + 2x − 1。

合并：x² − x² = 0，−9 − 1 = −10。剩下 2x − 10。

2x − 10 = 2(x − 5)

用 x = 4 检查：(7)(1) − 9 = −2，而 2(4) − 10 = −2。