处理多边形的内角与外角

处理多边形时，两条事实承担了大部分工作。n 边形的内角和是 (n − 2) × 180°，任何凸多边形的外角和都是 360°。 对正多边形（regular polygon）来说，每个外角等于 360° ÷ n，每个内角则是 180° 减去外角。

这是角度与几何推理的第三课，把上一课的三角形内角和推广到多边形。

为什么内角和的公式成立？

选一个顶点，向其他所有顶点连线。这样多边形被分成若干个三角形，而且总是 n − 2 个。每个三角形的内角和是 180°，所以总和是 (n − 2) × 180°。

内角和外角如何联系？

在任何一个角处，内角和外角位于同一条直线上，所以内角 + 外角 = 180°。正多边形的所有外角相等，所以每个外角是 360° ÷ n。

1. 先判断题目给的是内角还是外角。
2. 换成外角，因为外角与 360° 直接挂钩。
3. 用外角 = 360° ÷ n 求 n，或由 n 求角度。
4. 如果题目要内角，再换回内角。
5. 检验：(n − 2) × 180° ÷ n 是否等于内角？

例题详解

一个正多边形的外角是 24°。求边数和每个内角的大小。

第一步： 外角之和是 360°，而且都相等，所以 n = 360 ÷ 24 = 15。

第二步： 每个内角是 180° − 24° = 156°。

检验： 内角和是 (15 − 2) × 180° = 13 × 180° = 2340°。除以 15 得 2340 ÷ 15 = 156°，吻合。

要留意的错误

常见的失误是把内角代入 360° 的公式。

错误答案： 正多边形的内角是 140°，所以 n = 360 ÷ 140，结果不是整数。

学生用 360° 除以内角。360° 这条规则只属于外角。

改正的方法是先换算：外角是 180° − 140° = 40°，所以 n = 360 ÷ 40 = 9。检验：(9 − 2) × 180° = 1260°，1260 ÷ 9 = 140°，吻合。如果算出来的边数是小数，就说明你用错了角。

自我检测

先试做，再打开答案核对。

1. 求六边形的内角和。

2. 求正八边形的每个内角。

3. 五边形的四个角分别是 100°、110°、120° 和 90°。求第五个角。

下一步

多边形的角度自然通向圆，那里有一套新的角度事实：运用圆的角度关系并写出理由。无计算器运算训练适合练习这里的乘除，综合练习题组会一起检测内角与外角。

有些学生背熟了两条公式，却在压力下混用。这正是我们的老师在数学线上一对一补习中会追查的失误。