“图形并非按比例绘制”是什么意思？

意思是图中的长度和角度可能与题目所给的数值不符，所以不能用尺量，也不能凭眼睛判断。只能使用题目给出的标记和信息，其余的靠推理求出。

图形里怎样表示平行线或相等的边？

平行线用成对的箭头表示。相等的边用相同数量的短划线表示。直角用小方块标出。如果图中没有标记，题目也没有说明，就不能假设。

只有当你能从已知条件证明它时才可以。例如，标出两条边相等的三角形就是等腰三角形。一条只是看起来垂直或平行的线不是事实，不要把解答建立在它上面。

几何图形是草图，不是测量。只有题目给出的事实，或图上标记显示的事实才能使用：已述的长度和角度、相等边的短划线、平行箭头和直角方块。 其余的东西，不管看起来多明显，都需要证明，否则不能使用。

这是角度与几何推理的最后一课。它保护着前面每一课，因为每一课都从你被允许使用的事实出发。

只是看起来成立的东西不是事实：看起来平行的线、看起来是直角的角、看起来相等的边，或看起来是中点的点。

线 AB 和 CD 被一条线所截，截线与 AB 交于 X，与 CD 交于 Y，X 在 Y 上方。B 和 D 在右边。∠BXY = 70°。

图形并非按比例绘制。

(a) 这两条线看起来平行，但没有标箭头，题目也没有说。∠XYD 求不出来，因为没有平行线，就没有规则能把这两个角联系起来。

(b) 现在题目加上”AB 平行于 CD”，并用箭头表示。∠BXY 和 ∠XYD 在截线的同一侧、两条平行线之间，所以是同旁内角。它们之和为 180°，所以 ∠XYD = 180° − 70° = 110°。

检验： 70° + 110° = 180°，而 ∠XYD 是钝角，符合与锐角 70° 在同一侧的宽角。

(a) 和 (b) 唯一的区别是一条已述的事实。两次图形看起来都一样。

常见的失误是因为看起来对，就直接使用。

错误答案： 在 (a) 中，∠XYD = 110°，因为这两条线平行。

学生相信了图画。题目没有给出平行标记，所以这个理由没有依据。

改正的方法是问自己”题目哪里告诉我这一点？“如果答案是”看起来是这样”，这一步就不能用。类似的陷阱还有：看起来像直角却没有标方块的角，以及看起来像中点却没有说明的点。

先试做，再打开答案核对。

1. 图中某个角上有小方块，两条边各有一条短划线，另有一条看起来垂直的线。这三样里，哪些是可以使用的事实？

查看答案

小方块（直角 90°）和短划线（边相等）是事实。只是看起来垂直的线不是事实。

2. 在三角形 ABC 中，AB 和 AC 各有一条短划线，∠BAC = 50°。求 ∠ABC，并写出理由。

查看答案

短划线表示 AB = AC，所以底角相等。∠ABC = (180° − 50°) ÷ 2 = 130° ÷ 2 = 65°，因为等腰三角形的底角相等，且三角形内角和为 180°。

3. 一个四边形看起来像长方形。题目只给出 ∠ABC = 90° 和 ∠BCD = 90°。你能说 ∠CDA = 90° 吗？

查看答案

不能。只给了两个直角，所以这个图形可能是直角梯形。你可以说 AB 平行于 CD，因为同旁内角 ∠ABC 和 ∠BCD 之和为 180°，但没有任何条件说明第四个角。

这一课之后，请在综合练习题组中尝试整个模块，每道题都需要一条已述事实和一个理由。根据已知事实推理，也支撑下一个模块：相似、全等与比例。

有些学生失分，是因为相信图画而不是题目。我们的老师会在数学线上一对一补习中培养先列出已知事实的习惯。