本题组有 12 道原创题，涵盖角度与几何推理的五节课，由易到难排列。每道题都只使用题目里已述的事实，所以不需要去量图。
怎样使用这个题组？
在纸上作答。对你求出的每个角，像考试那样写出数值和文字理由。然后打开答案，两部分都要对照。
数字对了却缺少理由，只算完成一半。
如果想记录反复出现的错误，错题记录与重测队列可以让你在自己的设备上记录。无计算器运算训练可以检查算术。
题目
Q1（平行线）。 AB 平行于 CD。两个同旁内角分别是 x° 和 118°。求 x。
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同旁内角之和为 180°，所以 x = 180 − 118 = 62°。
Q2（平行线）。 平行线之间的两个内错角分别是 (2x + 15)° 和 (3x − 20)°。求 x 和这个角。
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内错角相等：2x + 15 = 3x − 20，所以 x = 35。这个角是 2(35) + 15 = 85°，而 3(35) − 20 = 85° 验证无误。x = 35，角 = 85°。
Q3（三角形）。 三角形的两个角是 48° 和 67°。求第三个角。
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48 + 67 = 115，所以第三个角是 180 − 115 = 65°，因为三角形内角和为 180°。
Q4（等腰三角形）。 在三角形 PQR 中，PQ = PR，∠QPR = 34°。求 ∠PQR。
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底角相等，所以每个底角是 (180 − 34) ÷ 2 = 146 ÷ 2 = 73°。检验：73 + 73 + 34 = 180。
Q5（外角）。 在三角形 ABC 中，∠ABC = 53°，∠BAC = 56°。边 BC 越过 C 延长到 D。求 ∠ACD。
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外角等于不相邻的两个内角之和，所以 ∠ACD = 53 + 56 = 109°。检验：∠ACB = 180 − 53 − 56 = 71°，而 180 − 71 = 109°。
Q6（正多边形）。 求正十二边形的每个内角。
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外角 = 360 ÷ 12 = 30°，所以内角 = 180 − 30 = 150°。检验：(12 − 2) × 180 = 1800，1800 ÷ 12 = 150。
Q7（多边形，求边数）。 一个正多边形的每个内角是 162°。它有几条边？
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外角 = 180 − 162 = 18°，所以 n = 360 ÷ 18 = 20。检验：(20 − 2) × 180 = 3240，3240 ÷ 20 = 162。
Q8（多边形与代数）。 五边形的五个角分别是 x°、(x + 10)°、(x + 20)°、(x + 30)° 和 2x°。求 x 和最大的角。
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内角和是 (5 − 2) × 180 = 540。所以 x + x + 10 + x + 20 + x + 30 + 2x = 540，得 6x + 60 = 540，x = 80。五个角是 80、90、100、110 和 160，总和为 540。x = 80，最大的角 = 160°。
Q9（圆）。 O 是圆心，A、B、C 在圆上，C 在优弧上。∠AOB = 124°。求 ∠ACB，并写出理由。
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圆心角是圆周角的两倍，两者都对着弧 AB。所以 ∠ACB = 124 ÷ 2 = 62°。
Q10（切线）。 TA 是圆心为 O 的圆的切线，切点为 A。∠AOT = 64°。求 ∠ATO。
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切线垂直于 A 处的半径，所以 ∠OAT = 90°。于是 ∠ATO = 180 − 90 − 64 = 26°，因为三角形内角和为 180°。
Q11（图形假设）。 两条线被第三条线所截。一个角标为 65°，另一个标为 x。这两条线看起来平行，但没有箭头，题目也没有提到。(a) 你能求出 x 吗？(b) 如果题目说明两线平行，且 x 和 65° 是内错角，情况有什么不同？
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(a) 不能。 看起来平行不是已述事实，所以没有规则能联系这两个角。(b) 如果说明两线平行，内错角相等，所以 x = 65°。
Q12（多步）。 在三角形 ABC 中，AB = AC。直线 DAE 平行于 BC，D 在 B 那一侧。∠DAB = 55°。求 ∠ABC、∠ACB 和 ∠BAC，并写出理由。
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∠ABC = 55°，因为 DE 平行于 BC，这两个角是内错角。∠ACB = 55°，因为 AB = AC，底角相等。∠BAC = 180 − 55 − 55 = 70°，因为三角形内角和为 180°。检验：∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = 55 + 70 + 55 = 180，是一条直线。
如果你做错了
| 错在哪里 | 回到这一课 |
|---|---|
| Q1、Q2、Q12：角的组合或平行线规则用错 | 运用平行线的角度关系 |
| Q3、Q4、Q5：内角和、底角或外角 | 用三角形性质解释角度 |
| Q6、Q7、Q8：内角和或内外角混淆 | 处理多边形的内角与外角 |
| Q9、Q10：圆的事实用错，或该折半却加倍 | 运用圆的角度关系并写出理由 |
| Q11：因为看起来对就使用 | 区分图形假设与题目已述事实 |
几天后，针对同一项技能再做一道新题，并把反复出现的失误记在错题记录里。下一个模块相似、全等与比例会建立在这套推理之上。
如果同样的错误一再出现，我们的老师可以在数学线上一对一补习中检查你的书面解答。