当两条平行线被第三条线（称为截线，transversal）相交时，形成的角会成组出现。内错角和同位角相等，同旁内角之和为 180°。 这在直接的”求角度”题里会出现，也出现在含有三角形和四边形的较大图形中。
这是角度与几何推理的第一课，其他课会不断用到它。
平行线会形成哪些角的组合？
假设 AB 平行于 CD，一条截线分别与 AB 交于 P，与 CD 交于 Q。三种组合很重要：
| 组合 | 形状 | 规则 |
|---|---|---|
| 内错角（alternate） | Z | 相等 |
| 同位角（corresponding） | F | 相等 |
| 同旁内角（co-interior） | C 或 U | 之和为 180° |
同位角在两个交点处位置相同，例如都在”右上”。内错角在截线两侧、平行线之间。同旁内角在截线同一侧、平行线之间。
对顶角和直线上的角仍然可以使用。有些题目需要先用它们，才能到达你想要的那一对角。
怎样一步步使用？
- 标出平行线：题目说明平行时，在线上画箭头。
- 找到已知的角和要求的角。
- 描出连接它们的形状：Z、F 或 C。
- 写出规则（相等或和为 180°）并用文字写出理由。
- 计算，再对照图形检查：这个角是锐角还是钝角，与图形吻合吗？
例题详解
AB 平行于 CD。一条线与 AB 交于 P，与 CD 交于 Q，P 在 Q 上方。B 在 P 的右边，D 在 Q 的右边。
∠BPQ = 65°。求 ∠PQD，并写出理由。
第一步： ∠BPQ 在 PB（向右）和 PQ（向下）之间。∠PQD 在 QD（向右）和 QP（向上）之间。
第二步： 两个角都在平行线之间、PQ 的同一侧，所以是同旁内角。
第三步： 同旁内角之和为 180°，所以 ∠PQD = 180° − 65° = 115°。
理由： 同旁内角之和为 180°，因为 AB 平行于 CD。
检验： 设 C 在 Q 的左边，则 ∠PQC 与 ∠BPQ 是内错角，等于 65°。于是 ∠PQC + ∠PQD = 65° + 115° = 180°，与直线 CD 吻合。
要留意的错误
常见的失误是一看到”平行线”，就把每一对角都当作相等。
错误答案： ∠PQD = 65°，因为内错角相等。
学生注意到了平行线，却没有描出形状。这两个角构成的是 C 形，不是 Z 形。
改正的方法是每次都描出形状。Z 形表示两角相等，C 形表示两角之和为 180°。快速的合理性检查也有用：图中的 ∠PQD 看起来是钝角，所以 65° 不可能对。
自我检测
先试做，再打开答案核对。
1. AB 平行于 CD。两个同旁内角分别是 x 和 108°。求 x。
查看答案
同旁内角之和为 180°，所以 x = 180° − 108° = 72°。
2. 平行线之间的两个内错角分别是 (3x + 10)° 和 (2x + 35)°。求 x 和每个角的大小。
查看答案
内错角相等：3x + 10 = 2x + 35，所以 x = 25。每个角是 3(25) + 10 = 85°，而 2(25) + 35 = 85° 验证无误。x = 25，角为 85°。
3. 两个同旁内角分别是 4x° 和 (x + 30)°。求这两个角。
查看答案
4x + x + 30 = 180，所以 5x = 150，x = 30。两个角分别是 4(30) = 120° 和 30 + 30 = 60°。检验：120° + 60° = 180°。120° 和 60°
下一步
平行线掌握后，继续学习用三角形性质解释角度，其中这些规则会与内角和结合使用。无计算器运算训练适合练习其中的算术，综合练习题组则检测整个模块。
有些学生会算，却因为理由缺失或写错名称而失分。这正是我们的老师在数学线上一对一补习中会留意的地方。