散点图显示两个测量变量是否有关联，以及关联有多强。最佳拟合线（line of best fit）让你由一个值预测另一个值，但这张图无法证明一个变量导致另一个。
这项技能属于数据图表与累积推理。考试题通常要求你描述相关性、画出或使用最佳拟合线，并评论某个结论。
怎样描述散点图显示的内容？
用两个词：方向和强度。正相关表示 x 增大时，y 倾向于增大。
负相关表示 y 倾向于减小。无相关表示没有明显规律。
强表示点靠近一条直线，弱表示点很分散。描述时一定要结合情境，例如“复习时间越长的学生，分数倾向于越高”，而不只是写“正相关”。
画出并使用最佳拟合线的步骤
- **仔细描出每一个点。**把远离规律的点圈出来，这叫离群值（outlier）。
- 画一条直线顺着趋势，线的上下大致有相同数量的点。如果知道平均值点，线应当靠近它。
- 读取预测：从 x 值向上到线，再横向读到 y 值。
- **检查范围。**预测的 x 值在所描点的范围之内是内插；在范围之外是外推，不可靠。
- **谨慎地写结论：**两个变量有关联，任何关于原因的说法都需要更多证据。
例题
八名学生记录了他们为一次测验复习的小时数和分数（满分 100）。
| 复习小时 x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 分数 y | 35 | 42 | 48 | 55 | 58 | 66 | 70 | 75 |
(a) 描述相关性。小时数增加，分数也增加，点靠近一条直线，所以是强正相关。
(b) 一条最佳拟合线经过 (2, 42) 和 (6, 66)，求它的方程。
斜率 = (66 − 42) ÷ (6 − 2) = 24 ÷ 4 = 6。于是 y = 6x + c。代入 (2, 42)：42 = 12 + c，所以 c = 30。
这条线是 y = 6x + 30。用 (6, 66) 检查：6 × 6 + 30 = 66。✓
**(c) 解释斜率。**斜率 6 表示每多复习一小时，分数大约多 6 分（两者相关联）。
**(d) 预测复习 5.5 小时的分数。**y = 6 × 5.5 + 30 = 33 + 30 = 63。这是内插，因为 5.5 在 1 与 8 之间，所以相当可靠。
**(e) 预测复习 15 小时的分数。**方程给出 6 × 15 + 30 = 120，高于满分 100。这是外推，答案不合理。
要留意的错误
最常见的错误是把关联当成原因。
错误结论：“冰淇淋销量与晒伤个案强相关，所以吃冰淇淋会导致晒伤。”
学生把规律当成了机制。炎热晴朗的天气同时影响两者，所以两者互不为因。
纠正的办法是指出可能的第三个因素，这里是天气，并且写“有关联”。另一个经典例子是儿童的鞋码与词汇量：两者都随年龄增加，但鞋子变大并不会教会更多词汇。
自我检测
先试着做，再打开答案。
1. 用例题中的 y = 6x + 30，预测复习 3.5 小时的分数。
显示答案
y = 6 × 3.5 + 30 = 21 + 30 = 51。这是内插，因为 3.5 在数据范围之内。
2. 为什么复习 12 小时的预测不可靠？
显示答案
方程给出 6 × 12 + 30 = 102，高于满分 100，而且 12 小时超出了数据范围（1 到 8 小时）。这是外推，规律未必会延续。
3. 一家咖啡店把每天的室外气温与热饮销量画成散点图。你预期是哪种相关？咖啡店能否断定天气变凉使人想喝热饮？
显示答案
负相关：气温下降时，热饮销量上升。散点图显示的是关联，本身并不能证明因果，虽然有合理的解释，所以谨慎的说法是“与……有关联”。
接下来学什么
散点图常与其他图表出现在同一道题中，所以练习选择不扭曲数据含义的图表。如果要比较的是组别而不是变量，接着学比较两组分布。
然后试做数据图表练习题。免计算器演算训练器能帮助练习斜率的计算。
有些学生会算出直线，却把结论写得说过了头。看着你的措辞并调整，是老师在线上一对一数学补习里很擅长的事。