怎样比较两个标准式的数？

先比较 10 的指数。只要两个数都是正确的标准式，指数大的数就更大。如果指数相同，再比较小数部分。所以 3.2 × 10 −4 比 9.5 × 10 −5 大，因为 −4 大于 −5。

怎样求一个量是另一个量的几倍？

用较大的量除以较小的量。小数部分相除，10 的指数相减。例如 (6 × 10 5 ) ÷ (2 × 10 2 ) 得 3 × 10 3 ，所以前者是后者的 3000 倍。如果数值不太大，可以把两个数写成一般数来核对。

可以，但要先转换。像 58 × 10 2 这样的数不是标准式，直接拿它的指数和别的数的指数比会产生误导。把它改写成 5.8 × 10 3 ，或者把每个数都写成一般数，再公平地比较。

比较标准式的数时，先看 10 的指数，再看小数部分。指数告诉你数的大小级别，只有当两个数的指数相同时，小数部分才重要。这项技能会出现在人口、距离、质量和尺寸等数据题中。

它建立在把很小的测量值写成标准式之上。比较之前，先确保两个数都是规范的标准式。

(a) 小题。 3.2 × 10⁻⁴ 和 9.5 × 10⁻⁵ 哪个更大？

指数分别是 −4 和 −5。因为 −4 大于 −5，所以 3.2 × 10⁻⁴ 更大。核对：0.00032 大于 0.000095。

(b) 小题。 它是另一个数的几倍？答案取 2 位有效数字（significant figures）。

相除：(3.2 × 10⁻⁴) ÷ (9.5 × 10⁻⁵) = (3.2 ÷ 9.5) × 10^{−4 − (−5)} = 0.3368… × 10¹ = 3.368…

取 2 位有效数字，答案是 3.4 倍。核对：0.00032 ÷ 0.000095 = 3.368…，吻合。

(c) 小题。 按升序排列：58 × 10²、4.9 × 10³、0.51 × 10⁴。

其中两个不是标准式，所以把三个数都换成一般数：58 × 10² = 5800，4.9 × 10³ = 4900，0.51 × 10⁴ = 5100。

升序：4.9 × 10³、0.51 × 10⁴、58 × 10²。

常见的失误是只比较小数部分，忽略了指数。

(a) 小题的错误答案： 9.5 × 10⁻⁵ 更大，因为 9.5 大于 3.2。

学生只比较了 9.5 和 3.2，完全没看指数。

改正的方法：10 的幂对大小的影响远大于小数部分。10⁻⁴ 是 10⁻⁵ 的十倍，所以只有指数相同时才需要比较小数部分。如果不确定，就把两个数写成小数：0.00032 和 0.000095。

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. 7.8 × 10⁻³ 和 1.2 × 10⁻² 哪个更大？

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−2 大于 −3，所以 1.2 × 10⁻² 更大。核对：0.012 大于 0.0078。

2. 6 × 10⁵ 是 2 × 10² 的几倍？

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(6 ÷ 2) × 10⁵⁻² = 3 × 10³，所以是 3000 倍。核对：600 000 ÷ 200 = 3000。

3. 按升序排列：2.5 × 10⁻³、0.04、1.8 × 10⁻²。

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写成一般数：0.0025、0.04、0.018。所以顺序是 2.5 × 10⁻³、1.8 × 10⁻²、0.04。

接着学习如何判断答案的大小是否合理：估算标准式答案的大小。本单元练习题组把所有技能混合在一起。无计算器运算训练可以帮你手算练习这套步骤。

如果比较只在限时题中出错，数学线上一对一补习能让老师在你做题时观察你的步骤。