化简根号是什么意思？

意思是把根号写成一个整数乘以一个里面已没有平方因数的根号。例如 √72 化简为 6√2。数值完全相同，但形式更整洁，更容易相加、比较，或用在长题目的下一步。

怎样找平方因数？

找出能整除根号内数字的最大平方数。要熟悉的平方数有 4、9、16、25、36、49、64、81 和 100。对 72 来说最大的是 36，因为 72 = 36 × 2。较小的如 4 也可以，但你需要再化简一次。

不可以。用数字试试：√(9 + 16) = √25 = 5，但 √9 + √16 = 3 + 4 = 7，两者不相等。根号可以拆开乘法，即 √(a × b) = √a × √b，但不能拆开加法或减法。

化简根号的方法是：找出能整除根号内数字的平方数，把它的平方根提到根号外，其余留在里面。结果是精确的，不像计算器显示的小数。你会在勾股定理题、代数题，以及题目要求”以根号形式（surd form）作答”时用到它。

这一课需要认识平方数，也需要一点因数与精确运算的熟练度。它与运用指数定律中的 a^1/2 = √a 互相呼应。

关键事实是 √(a × b) = √a × √b。所以如果根号内的数含有平方因数，那一部分就能以整数的形式提出来。

化简 √75 + √12，答案写成 k√3 的形式。

第一步，化简 √75。 75 的最大平方因数是 25，因为 75 = 25 × 3。所以 √75 = √25 × √3 = 5√3。

第二步，化简 √12。 12 的最大平方因数是 4，因为 12 = 4 × 3。所以 √12 = √4 × √3 = 2√3。

第三步，合并同类项。 5√3 + 2√3 = 7√3，就像 5 个苹果加 2 个苹果等于 7 个苹果。

第四步，检查。 7√3 的平方是 49 × 3 = 147。而 (√75 + √12)² = 75 + 12 + 2√900 = 87 + 60 = 147。两者都得 147。

答案：7√3

常见的失误是把平方因数本身提到根号外，而不是它的平方根。

错误解法： √72 = √(36 × 2) = 36√2

学生把 36 提出根号，却没有取它的平方根。

改正的方法：因数离开根号时，要取平方根再出来。√36 = 6，所以 √72 = 6√2。

快速估算大小就能揭穿这个错误。√72 略大于 8，因为 8² = 64，9² = 81。6√2 ≈ 6 × 1.41 = 8.5，合理；而 36√2 约为 51，不合理。

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. 化简 √45。

查看答案

45 = 9 × 5，所以 √45 = √9 × √5 = 3√5。

2. 化简 √98。

查看答案

98 = 49 × 2，所以 √98 = 7√2。答案：7√2。

3. 化简 √12 × √6。

查看答案

√12 × √6 = √72，因为 12 × 6 = 72。由上面的方法，√72 = 6√2。

下一课估算标准式答案的大小用的是同样的习惯：检查结果是否合理。之后可以试试指数、根号与标准式练习题组。学科后段的直角三角形问题还会再用到根号，所以直角三角形三角学建立在这项技能之上。

如果你在被提示时能化简根号，但藏在较长的题目里就做不到，这个缺口可以在数学线上一对一补习中直接针对。