用比例因子推算体积变化

如果两个相似立体的长度之比是 1 : k，那么它们的表面积之比是 1 : k²，体积之比是 1 : k³。体积是三维的，所以比例因子要用三次。

学这一课之前，你需要掌握线性比例因子和面积关系。

体积为什么乘以 k³？

取一个 2 cm × 3 cm × 4 cm 的长方体，体积是 24 cm³。每个长度加倍后变成 4 cm × 6 cm × 8 cm，体积 192 cm³。

而 192 ÷ 24 = 8，8 = 2³。长、宽、高都乘以 2，所以体积乘以 2 × 2 × 2。

规律是每个维度对应一次 k：长度 k，面积 k²，体积 k³。

方法

1. 求出线性比例因子 k，从一对对应长度求得。
2. 判断你在缩放什么：长度、面积（表面积），还是体积（或容量、同一材料的质量）。
3. 使用对应的次方：k、k² 或 k³。
4. 如果一开始给的是体积，取比值、化简，再开立方根得到 k。

例题详解

两个相似的瓶子高度分别是 12 cm 和 18 cm。较小的瓶子容量 240 ml。较大的瓶子容量是多少？

第 1 步，比例因子。 18 ÷ 12 = 1.5。

第 2 步，体积因子。 1.5³ = 1.5 × 1.5 × 1.5 = 3.375。

第 3 步，容量。 240 × 3.375 = 810 ml。

第 4 步，检查。 240 × 3 = 720，240 × 0.375 = 90，720 + 90 = 810。

从体积出发。 两个相似立体的体积是 54 cm³ 和 250 cm³，较大的高 20 cm。体积比是 250 ÷ 54 = 125/27，所以从小到大 k = 5/3。较小立体的高是 20 × 3/5 = 12 cm。表面积之比则是 (5/3)² = 25/9。

要留意的错误

常见的错误是用错次方，通常是用了平方，因为上一课讲的是面积。

错误做法： 240 × 1.5² = 240 × 2.25 = 540 ml。

学生把面积因子用在了容量上。体积有三个维度，所以因子必须取立方。

纠正的办法是先问题目要求的是哪一种量。容量、体积和同一材料的质量用 k³，表面积用 k²，长度用 k。

计算之前，把次方写在量的旁边。

自我检测

先自己做，再打开每个答案。

1. 某立体体积 35 cm³，按比例因子 2 放大。求新体积。

2. 两个相似立体的体积比是 8 : 27。较小立体的表面积是 50 cm²。求较大立体的表面积。

3. 一个水箱模型按 1 : 10 的比例制作，模型体积 64 cm³。求实际体积，以升为单位。（1 升 = 1000 cm³。）

下一步

现在你已掌握长度、面积、体积的全部因子。可以在相似、全等与比例练习集中把它们混合起来检验，或者先看相似与全等有什么不同。地图比例尺与比例因子练习工具提供更多练习。

混合题正是错误次方容易混进来的地方。一对一线上数学补习的老师可以陪你做几道，并帮你养成标注次方的习惯来杜绝这种错误。