用比例因子推算面积变化

如果相似图形的长度乘以比例因子 k，那么面积乘以 k²。面积之比等于长度之比的平方。

请先确认你已理解线性比例因子，因为面积题总是从求它开始。

面积为什么乘以 k²？

面积同时衡量两个方向。2 cm × 4 cm 的长方形面积是 8 cm²。按 3 倍缩放，两个维度都变成三倍：6 cm × 12 cm，面积 72 cm²。

面积并没有变成 24 cm²（8 × 3），而是 72 cm²，也就是 8 × 9，而 9 = 3²。每个维度贡献一个因子 k，而维度有两个。

这适用于任何形状，包括三角形和圆，只要这些图形相似。

方法

1. 求出线性比例因子 k，从一对对应长度，或者从面积比求得。
2. 把它平方，得到面积比例因子 k²。
3. 把已知面积乘以 k²（放大时）；反方向则相除。
4. 如果一开始给的是面积，把比写成分数并开平方，得到长度因子。

例题详解

两个相似图形的面积分别是 20 cm² 和 45 cm²。较小图形的一条边是 8 cm。求较大图形上的对应边。

第 1 步，面积比。 45 ÷ 20 = 9/4。

第 2 步，长度比。 9/4 的平方根是 3/2，所以 k = 1.5。

第 3 步，求边。 8 × 1.5 = 12 cm。

第 4 步，检查。 k = 1.5 时 k² = 2.25，而 20 × 2.25 = 45。面积吻合。

反方向。 某图形面积 12 cm²，按比例因子 2.5 放大。面积比例因子是 2.5² = 6.25。所以新面积 = 12 × 6.25 = 75 cm²。

要留意的错误

常见的错误是把面积直接乘以线性比例因子。

错误做法： 面积 = 12 × 2.5 = 30 cm²。

这把面积当成了长度。它忽略了面积有两个维度，所以实际要乘以 2.5 × 2.5。

纠正的办法是先平方再乘：12 × 2.5² = 12 × 6.25 = 75 cm²。合理性检查也有帮助：一个图形长度是 2.5 倍、宽度也是 2.5 倍，面积显然远不止 2.5 倍。

自我检测

先自己做，再打开每个答案。

1. 某图形面积 7 cm²，按比例因子 3 放大。求新面积。

2. 两个相似图形的面积为 50 cm² 和 18 cm²。较大图形的一条边是 10 cm。求较小图形的对应边。

3. 在比例尺 1 : 100 的平面图上，一个房间的面积是 24 cm²。求实际面积，以 m² 为单位。

下一步

体积遵循同样的规律，只是多了一个维度。接着学习用比例因子推算体积变化，再用地图比例尺与比例因子练习工具换新数字重复这套方法。面积与周长公式在面积、周长与表面积中讲解。

如果在时间压力下平方和立方仍会混在一起，一对一线上数学补习的老师可以检查你自己的解法，找出多出或漏掉的那一次方出现在哪里。