本模块包含两个相连的概念。第一是直线的坐标几何：由截距写出方程、使用斜率（gradient），并识别垂直（perpendicular）直线。第二是线性化（linearisation）：把 y = ax² + b 这类曲线关系改写，使两个选定量的图像变成直线，再从斜率和截距读出常数。
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需要先具备哪些基础？
你需要会求两点之间的斜率、把方程整理成 y 为主项，并把数值代入公式。如果解出常数还不够顺手，可先复习线性与非线性联立模型，因为由两个条件求两个常数用的是同一种习惯。
引导例题
变量 x 与 y 满足 y = px² + q。y 对 x² 的图像是一条经过 (1, 8) 和 (4, 17) 的直线。求 p 和 q，再求 y = 53 时的 x。
第一步，认出直线： 把 y = px² + q 与 Y = mX + c 对照。这里 Y = y，X = x²，m = p，c = q。
第二步，斜率： m = (17 − 8) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3，所以 p = 3。
第三步，截距： 把 (1, 8) 代入 Y = 3X + c：8 = 3 + c，所以 c = 5，即 q = 5。
第四步，使用模型： y = 3x² + 5。当 y = 53，3x² = 48，x² = 16，x = 4（取正值，因为图像用的是正的 x）。
检验： 3(16) + 5 = 53。图上的点 (4, 17) 中 X = 4，即 x = 2，模型给出 3(4) + 5 = 17，吻合。
整道题取决于一个决定：每条坐标轴该放什么。
应该按什么顺序学习？
- 由截距信息求直线：从直线与坐标轴的交点建立方程。
- 判断垂直关系：用斜率乘积为 −1，完成直线的基本功。
- 把数据转换成直线形式：选出要作图的量，使曲线变成直线。
- 由斜率和截距还原模型常数：把图像变回原来的公式。
- 评估外推线性模型的局限：判断拟合的直线何时不能再信任。
然后做综合练习。课程不必严格按这个顺序，但先掌握直线技能会让线性化的课轻松很多。
哪些陷阱最容易让学生失分？
- 混淆两种截距，把 x 轴上的点的坐标写反。
- 求斜率时两个坐标相减的顺序不一致，使符号颠倒。
- 对曲线关系直接用原来的 y 和 x 作图，却期待得到直线。
- 把新图像的斜率直接当成原公式的常数，没有核对图上画的是什么。
- 求垂直斜率时只取倒数，或只变号。
- 把拟合的直线用到数据范围很远的地方，却不想想情境是否还合理。
每节课都会完整演示其中一种错误，再给出更正。
怎样使用练习？
每题先在纸上做，有图像时先清楚写出 Y = mX + c，再读取 m 和 c。然后代入第二个数据点检验常数。免计算器演算训练器可帮你保持分数斜率的精确，错题记录与重测队列则可用来记下出错的步骤，方便日后重测。