N = N₀e^(kt) 中的 k 是百分比增长率吗？

不完全是。k 是连续增长率。一个时间单位内实际的百分比增幅是 (e^k − 1) × 100%。当 k = 0.04 时约为 4.08%，接近 4% 只是因为 k 很小。k 越大，差距越明显。

怎样用 e 来表示每年 6% 的增长？

每年增长 6%，就是每年乘以 1.06，所以 N = N₀(1.06)^t。因为 1.06 = e^k，所以 k = ln 1.06 ≈ 0.0583，即 N = N₀e^(0.0583t)。两种写法在每个时间 t 给出相同的值。

k 为负数表示衰减。每个时间单位，数量乘以 e^k，而它小于 1。例如 k = −0.08 得到每年的因子约 0.923，数量每年约下降 7.7%，而不是 8%。

在模型 N = N₀e^kt 中，k 是增长常数，表示连续变化的速率。它不等于每个时间周期的百分比增幅，后者是 (e^k − 1) × 100%。

这一课介于合并对数的对数法则与综合练习的应用题之间。它把指数与对数推理的想法串了起来。

每个周期增长 p% 的量，每个周期都乘以因子 (1 + p/100)。经过 t 个周期：

N = N₀ × (1 + p/100)^t

把 1 + p/100 写成 e^k，就得到 N = N₀e^kt。所以两个常数的关系是：

方向	公式
由百分比求 k	k = ln (1 + p/100)
由 k 求百分比	p = (e^k − 1) × 100

两种写法描述的是同一条曲线。差别只在你读出的是哪个数：k 描述连续变化，p 描述一个完整周期内的跳升。

某种群数量的模型为 N = 500e^0.04t，t 以年计。

(a) 每年的百分比增长。 年因子为 e^0.04 = 1.0408。所以每年增长约 4.08%，而不是 4%。

(b) 10 年后的数量。 N = 500e^0.4 = 500 × 1.4918 = 745.9，约为 746。

(c) 翻倍时间。 解 500e^0.04t = 1000，得 e^0.04t = 2。取 ln：0.04t = ln 2，所以 t = 0.6931 ÷ 0.04 = 17.33。数量大约在 17.3 年后翻倍。

与错误读法对照。 如果改用每年 4%，500 × 1.04¹⁰ = 740.1，比 746 少约 6。可见两种读法的确不同，只有 e 的形式与题目给出的模型相符。

常见的失误是把 k 直接当作百分比。

错误的做法：「k = 0.04，所以数量每年增长 4%。」

学生把连续增长率与每年的百分比画上了等号。

纠正的办法是先求年因子。一年之后，N = 500e^0.04 = 520.4，比 500 多 20.4，即 4.08%。

k 很小时差别不大，但 k 越大差别越明显：k = 0.5 时 e^0.5 = 1.649，每个周期增长 64.9%，而不是 50%。

1. 对 N = 200e^0.05t，求每年的百分比增长，保留 3 位有效数字。

显示答案

e^0.05 = 1.0513，所以每年增长 5.13%。

2. 某价值每年下降 8%，即 N = N₀(0.92)^t。把它写成 N = N₀e^kt，并给出 k，保留 3 位有效数字。

显示答案

令 e^k = 0.92，所以 k = ln 0.92 = −0.0834。负号表示衰减。

3. 某项投资每年增长 2%。多少年后它第一次翻倍？答案保留 3 位有效数字。

显示答案

解 1.02^t = 2，所以 t = ln 2 ÷ ln 1.02 = 0.6931 ÷ 0.01980 = 35.0。这项投资在 35.0 年后翻倍。

带着这些想法去做综合练习，然后回头看把指数关系线性化，了解同样的常数如何出现在对数图上。

如果每一步计算你都会做，却不确定题目要的是哪一种形式，老师可以在一对一线上附加数学补习中看你如何理解题目的措辞。