这 12 道题全部原创，由易到难。内容包括指数式与对数式互换、对数法则、带定义域限制的方程、由对数得到的直线图，以及增长模型。先在纸上自己做，再打开详解。
只有题目要求小数答案时才使用计算器。请在 Cambridge 课程大纲页面查看你所考年份的记号与计算器规定。如果需要学习顺序，可以从模块总览开始。
热身：转换与求值
1. 把 2⁶ = 64 写成对数式，把 log₇ 49 = 2 写成指数式。
显示答案
底数 2，指数 6，数 64：log₂ 64 = 6。
底数 7，对数值 2，数 49：7² = 49。
2. 求值：(a) log₅ 125，(b) log₄ 2，(c) log₃ (1/27)。
显示答案
(a) 5³ = 125，所以是 3。
(b) 41/2 = 2，所以是 1/2。
(c) 3⁻³ = 1/27，所以是 −3。
3. 解 logx 125 = 3/2。
显示答案
x3/2 = 125。两边取 2/3 次方：x = 1252/3 = (∛125)² = 5² = 25。
检查：253/2 = (√25)³ = 125。所以 x = 25。
4. 解 3ˣ = 50，x 保留 3 位有效数字。
显示答案
x = log₃ 50 = ln 50 ÷ ln 3 = 3.912 ÷ 1.0986 = 3.561。
检查：3³ = 27，3⁴ = 81，所以 x 在 3 与 4 之间。所以 x = 3.56。
进阶：法则与方程
5. 证明 3 lg 2 + lg 25 − lg 2 = 2。
显示答案
3 lg 2 = lg 8。所以原式 = lg 8 + lg 25 − lg 2 = lg (8 × 25 ÷ 2) = lg 100。
因为 10² = 100，所以 lg 100 = 2。✓
6. 解 log₂ x + log₂ (x − 3) = 2。
显示答案
定义域：x > 0 且 x − 3 > 0，所以 x > 3。合并：x(x − 3) = 2² = 4，故 x² − 3x − 4 = 0，得 (x − 4)(x + 1) = 0。
x = −1 不大于 3，舍去。检查 x = 4：log₂ 4 + log₂ 1 = 2 + 0 = 2。所以 x = 4。
7. 解 22x − 5 × 2ˣ + 4 = 0。
显示答案
令 u = 2ˣ。则 22x = u²，所以 u² − 5u + 4 = 0，得 (u − 1)(u − 4) = 0。所以 u = 1 或 u = 4。
2ˣ = 1 得 x = 0，2ˣ = 4 得 x = 2。检查 x = 2：16 − 20 + 4 = 0。✓ 所以 x = 0 或 x = 2。两个都有效，因为 2ˣ 永远是正数。
8. 解 lg (13x − 4) = 1 + lg x。
显示答案
定义域：x > 0 且 13x − 4 > 0，所以 x > 4/13。把 1 写成 lg 10，右边就是 lg 10 + lg x = lg 10x。令里面相等：13x − 4 = 10x，所以 3x = 4，x = 4/3。
因为 4/3 > 4/13，所以有效。检查：13 × 4/3 − 4 = 40/3，10 × 4/3 = 40/3。所以 x = 4/3。
拓展：图像与模型
9. 变量满足 y = abˣ。lg y 对 x 的图是经过 (0, 0.5) 和 (4, 2.1) 的直线。求 a 和 b，保留 3 位有效数字。
显示答案
截距 = 0.5，所以 lg a = 0.5，a = 100.5 = 3.16。斜率 = (2.1 − 0.5) ÷ 4 = 0.4，所以 lg b = 0.4，b = 100.4 = 2.51。
所以 y = 3.16 × 2.51ˣ。检查 x = 4：lg y = 0.5 + 1.6 = 2.1。✓
10. lg y 对 lg x 的图是斜率为 2、经过 (1, 3) 的直线。求 y 与 x 的关系。
显示答案
设 y = axⁿ，则 lg y = n lg x + lg a。斜率给出 n = 2。代入 (1, 3)：3 = 2 × 1 + lg a，所以 lg a = 1，a = 10。
所以 y = 10x²。检查：x = 10 时 lg x = 1，y = 1000，lg y = 3。✓
11. 某种群数量的模型为 N = 800e0.03t，t 以年计。求 (a) 每年的百分比增长（保留 3 位有效数字），(b) 20 年后的数量（取最接近的整数）。
显示答案
(a) 年因子为 e0.03 = 1.0305，所以每年增长 3.05%，而不是 3%。
(b) N = 800e0.6 = 800 × 1.8221 = 1457.7。取最接近的整数，为 1458。
12. 一份培养物有 2000 个细菌，每小时增长 15%。求数量达到 10 000 所需的时间，保留 3 位有效数字。
显示答案
N = 2000 × 1.15t。令其等于 10 000：1.15t = 5。取对数：t = ln 5 ÷ ln 1.15 = 1.6094 ÷ 0.13976 = 11.52。
检查：1.1511.5 ≈ 5，因为 e0.13976 × 11.5 = e1.607 ≈ 4.99。所以是 11.5 小时。
如果你做错了
把每种错误对应到能修正它的课。
| 哪里出了错 | 回到 |
|---|---|
| 底数与答案对调，或不知如何开始转换（第 1 至 4 题） | 指数式与对数式的互相转换 |
| 该平方却乘以 2，或拆开 log (a + b)（第 5 和 8 题） | 用正确的系数合并对数 |
| 保留了定义域排除的多余根（第 6 和 8 题） | 解带有对数定义域限制的方程 |
| 把斜率和截距直接当作常数（第 9 和 10 题） | 把指数关系线性化 |
| 把 k 当成百分比，或忘了增长因子（第 11 和 12 题） | 区分增长常数与百分比增长 |
把每个错误记在错题记录与重测队列里，几天后再做一道同一技能的新题。你先用手算，之后可以用免计算器步骤训练器和二次结构探索器检查精确值和二次方程的根。
如果同样的失误反复出现，老师可以在一对一线上附加数学补习中检查你的书面解答，找出这个习惯从哪里开始。