这套题有十二道原创题，由易到难，涵盖积分方法的全部五节课。第 1 至 4 题练习幂和常数，第 5 至 8 题加入括号和定积分，第 9 至 12 题把所有内容混合并加入检验。
先在纸上做每一题，再打开答案。把积分后的式子单独写成一行，然后再代入。标出做错的题目，并用最后的对照清单。
题目
1. 求 ∫(4x³ − 6x² + 5) dx。
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逐项积分：4x³ 得 x⁴，−6x² 得 −2x³，5 得 5x。
x⁴ − 2x³ + 5x + c
检验：求导得 4x³ − 6x² + 5。
2. 一条曲线的斜率为 dy/dx = 6x − 5，并经过 (2, 7)。求它的方程。
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y = 3x² − 5x + c。代入 (2, 7)：7 = 12 − 10 + c，所以 c = 5。
y = 3x² − 5x + 5
检验：当 x = 2 时，12 − 10 + 5 = 7。
3. 求 ∫(x² + 3)/x² dx。
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先拆开：(x² + 3)/x² = 1 + 3x−2。积分：1 得 x，3x−2 得 3x−1/(−1) = −3/x。
x − 3/x + c
检验：求导得 1 + 3x−2。
4. 求 ∫(3√x − 2/√x) dx。
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改写：3x1/2 − 2x−1/2。第一项：3 × (2/3)x3/2 = 2x3/2。第二项：−2 × 2x1/2 = −4x1/2。
2x3/2 − 4√x + c
检验：求导得 3x1/2 − 2x−1/2。
5. 求 ∫(2x − 3)5 dx。
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幂加一：(2x − 3)6/6。再除以内部系数 2，所以除数是 12。
(2x − 3)6/12 + c
检验：6(2x − 3)5 × 2 / 12 = (2x − 3)5。
6. 计算从 1 到 2 的 ∫(6x² − 2) dx。
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[2x³ − 2x] 从 1 到 2。当 x = 2：16 − 4 = 12。当 x = 1：2 − 2 = 0。
12
7. 已知 f′(x) = 3x² − 4x 且 f(−1) = 1，求 f(x)。
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f(x) = x³ − 2x² + c。代入 x = −1：(−1)³ − 2(1) + c = 1，所以 −1 − 2 + c = 1，c = 4。
f(x) = x³ − 2x² + 4
检验：f(−1) = −1 − 2 + 4 = 1。
8. 计算从 −1 到 3 的 ∫(x² − 2x) dx。
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[x³/3 − x²] 从 −1 到 3。当 x = 3：9 − 9 = 0。当 x = −1：−1/3 − 1 = −4/3。相减：0 − (−4/3) = 4/3。
4/3
9. 求 ∫8e2x dx。
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e2x 的积分是 ½e2x。再乘以 8。
4e2x + c
检验：求导得 4 × 2e2x = 8e2x。
10. 计算从 0 到 1 的 ∫(2x + 1)³ dx。
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原函数：(2x + 1)⁴/8。当 x = 1：3⁴/8 = 81/8。当 x = 0：1/8。相减：80/8 = 10。
10
检验：(2x + 1)³ 在 x = 0 时为 1，在 x = 1 时为 27，所以答案介于 1 和 27 之间是合理的。
11. 一条曲线的斜率为 (2x − 1)²，并经过 (1, 2)。求它的方程。
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积分：y = (2x − 1)³/6 + c。代入 (1, 2)：2 = 1/6 + c，所以 c = 11/6。
y = (2x − 1)³/6 + 11/6
检验：求导得 3(2x − 1)² × 2 / 6 = (2x − 1)²。
12. 一位学生声称 ∫4x(x² − 3) dx = (x² − 3)²/2 + c。请用求导检验，必要时改正。
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求导：2(x² − 3) × 2x / 2 = 2x(x² − 3)，只有 4x(x² − 3) 的一半。这个说法是错的。
正确的原函数是 (x² − 3)² + c，因为对它求导得 2(x² − 3) × 2x = 4x(x² − 3)。
做错了怎么办
- 第 1、3、4、7 题： 常数、负幂或分数幂出错。复习用正确的常数积分幂函数。
- 第 2、7、11 题： 没有正确用点来求 c。复习由导数和一个点还原函数。
- 第 5、9、10、11 题： 漏了内部系数。复习使用代换形式的逆向求导。
- 第 6、8、10 题： 上下限或负值处理不当。复习用正确的上下限计算定积分。
- 第 12 题，或任何你无法解释的错误答案： 复习用求导检验原函数。
微积分形状与变化率探索器、无计算器运算训练和错题记录与重测队列可以帮你记录反复出现的错误类型。
如果同样的题目总是让你失分，我们的老师可以在附加数学线上一对一补习中查看你的步骤。