要还原函数，就对导数逐项积分并加上常数 c。然后把给定的点代入结果，解出 c。
这项技能是积分方法的起点，每当题目给出变化率和起始值时都会用到。
为什么会有常数？
求导会把常数去掉。y = x² + 1、y = x² 和 y = x² − 7 的斜率都是 2x，所以光凭斜率，你分不出原来是哪一个。
积分时，你写出整族函数：y = x² + c。像 (2, 9) 这样的点就说明你需要哪一个。代入得 9 = 4 + c，所以 c = 5。
还原函数的步骤
- 逐项积分： x 的幂加一，再除以新的幂。
- 写上 + c，在做其他事之前先写。
- 代入点：把点代入积分后的式子，x 和 y 放对位置。
- 解出 c，再用这个值重写方程。
- 检验：再次代入该点，并求导核对。
例题详解
一条曲线的斜率为 dy/dx = 6x² − 4x + 3，并经过 (1, 5)。求它的方程。
第一步，积分： y = 6x³/3 − 4x²/2 + 3x + c = 2x³ − 2x² + 3x + c。
第二步，代入 x = 1，y = 5： 5 = 2 − 2 + 3 + c。所以 5 = 3 + c，c = 2。
第三步，写出方程：
y = 2x³ − 2x² + 3x + 2
第四步，检验： 当 x = 1 时，值为 2 − 2 + 3 + 2 = 5，与该点吻合。求导得 6x² − 4x + 3，与斜率吻合。
要留意的错误
常见的失误是漏掉常数，却仍然代入那个点。
错误答案： y = 2x³ − 2x² + 3x
当 x = 1 时得 3，而不是 5。因为从来没有加上常数，所以这个点不成立。
改正的方法是积分一结束就写上 + c。只要题目给了点，常数就不是可有可无。一个简单的测试是把点代回最终方程，看它是否成立。
自我检测
先在纸上试做，再打开答案核对。
1. 一条曲线满足 dy/dx = 4x − 3，并经过 (2, 5)。求 y 关于 x 的式子。
查看答案
y = 2x² − 3x + c。代入 (2, 5)：5 = 8 − 6 + c，所以 c = 3。
y = 2x² − 3x + 3
2. 已知 f′(x) = 3x² + 2 且 f(−1) = 0，求 f(x)。
查看答案
f(x) = x³ + 2x + c。则 f(−1) = −1 − 2 + c = 0，所以 c = 3。
f(x) = x³ + 2x + 3
3. 一条曲线的斜率为 8x³ − 6x，并经过 (1, 1)。求它的方程。
查看答案
y = 2x⁴ − 3x² + c。代入 (1, 1)：1 = 2 − 3 + c，所以 c = 2。
y = 2x⁴ − 3x² + 2
下一步
接下来，在用正确的常数积分幂函数中处理更难的项，然后用积分方法练习题组检测自己。函数复合与反函数探索器和无计算器运算训练可以帮你检验数值和算术。
如果你卡在这类题目的设置上，我们的老师可以在附加数学线上一对一补习中和你一起处理。