怎样检验积分的答案？

对你的答案求导。如果得回原来的式子，积分就是对的。常数 c 在求导时消失，所以不影响检验。如果结果与原式只差一个常数倍，通常表示漏掉了一次除法。

求导能检验 c 的值吗？

不能。它只能确认原函数的形式，因为 c 在过程中消失了。要检验 c，请把给定的点代入最终方程，看是否成立。

在代入上下限之前，先对找到的原函数求导来确认。然后单独再核对代入的过程，或在一个容易的点把区间拆开比较。画一张草图也有助于判断答案的符号是否合理。

要检验原函数，就对它求导。如果结果等于你当初积分的原式，你的答案就是对的。

这适用于积分方法的每一节课，而且不到一分钟就能完成。这是你为考试能养成的最可靠的习惯。

积分和求导互为逆运算。如果 F(x) 是 f(x) 的原函数，那么按定义 F′(x) = f(x)。

常数 c 在这里不重要，因为任何常数的导数都是零。所以这个检验能确认除 c 以外的一切，而 c 另外用给定的点来核对。

一位学生声称 ∫(2x + 1)³ dx = (2x + 1)⁴/4 + c。请检验这个说法，必要时改正。

第一步，对候选答案求导： (2x + 1)⁴/4 的导数 = 4(2x + 1)³ × 2 / 4 = 2(2x + 1)³。

第二步，比较： 结果是 2(2x + 1)³，是原式 (2x + 1)³ 的两倍。

第三步，找出原因： 链式法则多出一个因子 2，所以学生忘了除以内部系数。

第四步，改正： 应该用 (2x + 1)⁴/8 + c。

第五步，再检验： 4(2x + 1)³ × 2 / 8 = (2x + 1)³。吻合。

(2x + 1)⁴/8 + c

误差的大小会告诉你哪里出错。大了两倍，就表示漏了除以 2。

常见的失误是用再积分一次来检验，或者凭“看起来对”就相信答案。

错误的做法： “我积分时很仔细，所以一定是对的。”

仔细并不等于检验。如果第二次用同样的方式做，同一个误解会重复出现。

改正的方法是使用不同的运算。求导和积分是两种不同的计算，所以其中一个的错误不太可能同时藏在另一个里。让求导成为你步骤的最后一行。

先在纸上试做，再打开答案核对。

1. ∫(x² + 2x) dx = x³/3 + x² + c 对吗？

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求导得 x² + 2x，与原式吻合，所以它是对的。

2. 一位学生写 ∫6x(x² + 1)² dx = (x² + 1)³/3 + c。请检验并改正。

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求导：3(x² + 1)² × 2x / 3 = 2x(x² + 1)²。原式是 6x(x² + 1)²，所以答案小了三倍。正确的积分是 (x² + 1)³ + c，它的导数是 3(x² + 1)² × 2x = 6x(x² + 1)²。

3. 一位学生写 ∫cos(2x) dx = 2 sin(2x) + c。请检验并改正。

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求导：2 cos(2x) × 2 = 4 cos(2x)，是原式的四倍。这个系数应该是除，而不是乘。正确答案是 ½ sin(2x) + c。

有了检验的习惯，就用积分方法练习题组测试自己。微积分形状与变化率探索器可以让你比较函数和它的导数，无计算器运算训练则支持算术部分。

如果你想让人读一读你的步骤，指出是哪个习惯在丢分，我们的老师会在附加数学线上一对一补习中这样做。