这套练习有十二道原创题，由易到难，涵盖直线与线性化的全部五节课。第 1 至 4 题是截距，第 5 至 7 题是线性化，第 8 至 10 题是垂直线，第 11 题是外推，第 12 题是综合。
每题先在纸上做，再打开答案；涉及图像时，先清楚写出 Y = mX + c。错题记录与重测队列是记录出错步骤的好地方。如果分数斜率让你变慢，可以用免计算器演算训练器。
题目与详解
1. 一条直线经过 (−4, 0) 和 (0, 6)。求它的方程。
显示答案
m = (6 − 0) ÷ (0 − (−4)) = 6/4 = 3/2。y 截距为 6。
y = 1.5x + 6。 检验：x = −4 时，y = −6 + 6 = 0。
2. 直线 5x − 2y = 20 与坐标轴相交于 P 和 Q。求 P、Q 和斜率。
显示答案
y = 0：5x = 20，x = 4，P = (4, 0)。x = 0：−2y = 20，y = −10，Q = (0, −10)。
斜率 = (−10 − 0) ÷ (0 − 4) = 5/2。整理验证：y = 2.5x − 10。
P = (4, 0)，Q = (0, −10)，斜率 5/2。
3. 一条直线斜率为 −2，x 截距为 3。求它的方程、y 截距，以及它与坐标轴围成的三角形面积。
显示答案
y − 0 = −2(x − 3)，所以 y = −2x + 6。y 截距为 6。
三角形底为 3，高为 6，面积 = ½ × 3 × 6 = 9 平方单位。 检验：x = 3 时，y = −6 + 6 = 0。
4. 一条直线 x 截距为 5，y 截距为 −2。把它的方程写成 ax + by = c 的形式，系数为整数。
显示答案
x/5 + y/(−2) = 1，即 x/5 − y/2 = 1。两边乘 10：2x − 5y = 10。
2x − 5y = 10。 检验：(5, 0) 得 10，(0, −2) 得 10。
5. 数据满足 y = ax² + b。
| x | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | 1 | 10 | 25 |
求 a 和 b。
显示答案
X = x²，得 1, 4, 9。斜率：(10 − 1) ÷ (4 − 1) = 3，(25 − 10) ÷ (9 − 4) = 3，所以图像是直线，a = 3。
再由 1 = 3(1) + b 得 b = −2。
a = 3，b = −2。 检验：3(9) − 2 = 25。
6. 变量满足 y = a/x + b。y 对 1/x 的图像经过 (0.5, 7) 和 (2, 13)。求 a 和 b。
显示答案
斜率 = (13 − 7) ÷ (2 − 0.5) = 6 ÷ 1.5 = 4，所以 a = 4。再由 7 = 4(0.5) + b 得 b = 5。
a = 4，b = 5。 检验：1/x = 2 时，y = 8 + 5 = 13。
7. 变量满足 y = px² + qx。y/x 对 x 的图像经过 (2, 9) 和 (6, 17)。求 p 和 q。
显示答案
Y = y/x，且 y/x = px + q。斜率 = (17 − 9) ÷ (6 − 2) = 2，所以 p = 2。再由 9 = 2(2) + q 得 q = 5。
p = 2，q = 5，即 y = 2x² + 5x。检验 x = 6：y = 72 + 30 = 102，102 ÷ 6 = 17。
8. 求 P(1, −1) 与 Q(5, 5) 的垂直平分线方程。
显示答案
中点 = (3, 2)。PQ 的斜率 = 6 ÷ 4 = 3/2，所以垂直斜率为 −2/3。
y − 2 = −(2/3)(x − 3)，所以 3y − 6 = −2x + 6，得 2x + 3y = 12。
检验：中点代入得 6 + 6 = 12。点 (0, 4) 在直线上，它到 P 的距离² 为 1 + 25 = 26，到 Q 的距离² 为 25 + 1 = 26。
9. 证明 A(1, 2)、B(4, 3)、C(5, 0) 在 B 处构成直角，并求这个三角形的面积。
显示答案
AB 的斜率 = (3 − 2) ÷ (4 − 1) = 1/3。BC 的斜率 = (0 − 3) ÷ (5 − 4) = −3。
乘积 = (1/3)(−3) = −1，所以 AB 垂直于 BC。
AB² = 9 + 1 = 10，BC² = 1 + 9 = 10，两边长都是 √10。面积 = ½ × √10 × √10 = 5 平方单位。
用坐标检验：½|(1×3 + 4×0 + 5×2) − (2×4 + 3×5 + 0×1)| = ½|13 − 23| = 5。
10. 求 k，使 y = kx + 1 与 2x + 3y = 5 垂直。
显示答案
2x + 3y = 5 得 y = −(2/3)x + 5/3，斜率为 −2/3。
k × (−2/3) = −1，所以 k = 3/2。 检验：(3/2)(−2/3) = −1。
11. 出租车车费用 F = 1.6d + 4 建模，F 的单位是 RM，d 是距离（公里）。这个模型是根据 2 公里到 15 公里的行程拟合的。求 d = 10 和 d = 120 时的 F，并分别评论。
显示答案
d = 10：F = 16 + 4 = RM20。在数据范围内，属于内插，合理。
d = 120：F = 192 + 4 = RM196。远在数据范围外，属于外推。长途行程的计价可能不同，所以这个值不可靠。
12. 数据遵循 y = ax + b/x。
| x | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | 5 | 5.5 | 8.75 |
求 a 和 b，再求 x = 5 时的 y。
显示答案
两边乘 x：xy = ax² + b。用 xy 对 x² 作图。xy 的值为 5, 11, 35，x² 为 1, 4, 16。
斜率：(11 − 5) ÷ (4 − 1) = 2，(35 − 11) ÷ (16 − 4) = 2。所以 a = 2，由 5 = 2(1) + b 得 b = 3。
模型为 y = 2x + 3/x。x = 5 时：y = 10 + 0.6 = 10.6。 检验 x = 4：8 + 0.75 = 8.75。
如果做错了
- 第 1 至 4 题： 截距、斜率的符号或面积。请看由截距信息求直线。
- 第 5、6、12 题： 决定作图的量，或读错行。请看把数据转换成直线形式。
- 第 7、12 题（最后的转换）： 常数放进了错误的公式。请看还原模型常数。
- 第 8 至 10 题： 垂直斜率或中点。请看判断垂直关系。
- 第 11 题： 对预测没有评语或评语含糊。请看评估外推线性模型的局限。
当同一种错误在不同题目中反复出现，通常是习惯问题，而不是知识的缺口。这正是我们在线上一对一附加数学补习中会留意的。