本模块讲的是至少有一个方程不是直线的联立方程，例如直线与圆，或 xy = 6 与 x² + y² = 13。方法始终相同：用较简单的方程消去一个变量，解出得到的二次方程，再为每一个根找出对应的另一个值。同样的思路也能把应用题变成方程，并判断一条直线与曲线相交几次。
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开始之前要先会什么？
你需要会展开 (x + 1)² 这样的括号，会因式分解并解二次方程，也要认得圆的方程。从第三课起会用到判别式（discriminant），如果 b² − 4ac 还不够熟练，先复习二次结构与判别式。圆的方程在圆的坐标方法中有详细讲解。
一道引导例题
解联立方程 y = x + 1 与 x² + y² = 25。
第 1 步，消去 y： 把直线代入圆：x² + (x + 1)² = 25。
第 2 步，展开并合并： x² + x² + 2x + 1 = 25，所以 2x² + 2x − 24 = 0，化简得 x² + x − 12 = 0。
第 3 步，求解： (x + 4)(x − 3) = 0，所以 x = −4 或 x = 3。
第 4 步，求对应的 y： 用直线 y = x + 1。当 x = −4 时，y = −3。当 x = 3 时，y = 4。
答案： (−4, −3) 和 (3, 4)。
检验： (−4)² + (−3)² = 16 + 9 = 25，3² + 4² = 9 + 16 = 25。
直线与圆相交于两点，正好对应二次方程的两个根。根的个数与交点个数之间的这层联系，贯穿整个模块。
应该按什么顺序学习？
- 把直线代入圆的关系式：核心步骤，重点是括号和让每个 x 配上正确的 y。
- 从非线性方程组中消去变量：处理 xy = k 与平方式，二次方程以 x² 为变量，有些根要舍去。
- 从几何角度理解重根：说明直线与曲线的重根代表什么。
- 由两个限制条件列出方程组：把周长、乘积或对角线变成两个方程。
- 按交点个数要求检验参数取值：直线含有未知常数时，用判别式来数交点。
然后做综合练习。每天一课，周末做练习，是比较稳定的节奏。
哪些陷阱最常绊倒学生？
- 括号平方写错，把 (x + 1)² 写成 x² + 1，丢掉中间项。
- 只写 x 的值就停笔，题目要的是点，答案却没有 y 坐标。
- 配对配反，把正的 x 配给属于负根的 y。
- 保留不可能的根，例如需要 x² 为负数的 y 值。
- 解判别式不等式时粗心，把 k² < 16 写成 k < 4，丢掉下界。
每一课都会完整展示其中一种错误，再给出更正。
如何使用练习题？
每题先在纸上做，最后把答案代回两个原方程检验。这个习惯能在老师或答案之前抓出大部分失误。手算之后，可以用直线与圆交点探索器确认结果，用二次结构探索器观察判别式如何改变图像。
做错时，请看练习末尾的对照清单，回到对应的课。把错误类型记在错题记录与重测队列里，几天后再做一道新题。
如果同一个习惯一直卡住进度，老师可以在在线一对一 Additional Mathematics 补习中检查你的书面解答。